Seja de classe .
a. Dar a definição de .
b. Provar que .
Passo 1
O enunciado pede para definir o operador rotacional de um campo vetorial $\vec F: \mathbb R^3\to\mathbb R^3$ e provar que a divergência desse rotacional é zero. O conteúdo é cálculo vetorial, envolvendo os operadores diferenciais gradiente $\nabla$, rotação $\nabla\times$ e divergência $\nabla\cdot$. Vamos usar a definição de rot e de div, além da igualdade de derivadas mistas para funções classe ${C^2}$.
Passo 2
Para um campo $\vec F=(F_1,F_2,F_3)$, definimos o rotacional como $\operatorname{rot}\vec F=\nabla\times\vec F$. Em coordenadas,
Passo 3
Para provar que $\operatorname{div}(\operatorname{rot}\vec F)=0$, lembramos que para um campo $\vec G=(G_1,G_2,G_3)$ vale
div(rotvec F)=0
Passo 4
Substituindo $\vec G=\operatorname{rot}\vec F$ e expandindo:
vec G=rotvec F
Passo 5
Como $\vec F$ é classe ${C^2}$, as derivadas mistas se confundem (Clairaut), por exemplo $\tfrac{\partial^2 F_3}{\partial x\partial y}=\tfrac{\partial^2 F_3}{\partial y\partial x}$. Fazendo o pareamento em cada termo, tudo se cancela e obtemos zero.
Resposta
a. rotvec F=nablatimesvec F=l(partialyF3-partialzF2,;partialzF1-partialxF3,;partialxF2-partialyF1r) b. div(rotvec F)=0