Verficação de conceitos
a) O que é uma sequência?
b) O que significa dizer lim n infty an=8 ?
c) O que significa dizer lim n infty an=infty ?
d) O que é uma sequência convergente. Dê dois exemplos.
e) O que é uma sequência divergente. Dê dois exemplos.

Passo 1

Nesse exercício a gente vai revisar os conceitos básicos de sequências numéricas e seus limites. Mais precisamente, vamos: entender o que é uma sequência, o que significa ter limite finito ou infinito, definir sequências convergentes e divergentes e dar exemplos práticos.

Passo 2

Uma sequência é, de forma bem simples, uma lista ordenada de números indexada pelos naturais. Em termos matemáticos, é uma função
a:NtoR, nmapsto an
Cada termo an é o valor da função no índice n.

Passo 3

Dizer que
limntoinftyan=8
significa que os termos an vão se aproximando cada vez mais de 8 conforme n cresce. Formalmente, para todo varepsilon>0 existe NinN tal que, sempre que n>= N, temos
|an-8|<varepsilon

Passo 4

Dizer que
limntoinftyan=infty
significa que os termos an crescem sem limite superior: para todo M>0 existe NinN tal que, sempre que n>= N, temos
an>M

Passo 5

Uma sequência convergente é aquela cujo limite existe e é finito. Por exemplo:
  • an=1/n, que converge para 0.
  • bn=(3n+1)/(2n), que converge para 3/2.

Passo 6

Uma sequência divergente é aquela que não converge para um número real finito. Dois tipos comuns:
  • Diverge para infinito: cn=n cresce sem parar.
  • Diverge por oscilar: dn=(-1)^n fica alternando entre 1 e -1, sem se aproximar de um valor.

Resposta

a) Uma sequência é uma função de N em R, isto é, uma lista ordenada (an)n=1^infty.
b) limntoinftyan=8 significa que, para todo varepsilon>0, existe N tal que, se n>= N, então |an-8|<varepsilon.
c) limntoinftyan=infty significa que, para todo M>0, existe N tal que, se n>= N, então an>M.
d) Sequência convergente é a que tende a um limite finito. Exemplos: an=1/n (limite 0) e bn=(3n+1)/(2n) (limite 3/2).
e) Sequência divergente é a que não tende a um limite real finito. Exemplos: cn=n (vai a infty) e dn=(-1)^n (oscila entre 1 e -1).

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