Calcule o rotacional dos campos abaixo e responda: são conservativos?
Dica: um campo é conservativo se seu rotacional for nulo.
Mostre que: The curl of a gradient is always zero:
Mostre que: The curl of a gradient is always zero:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente calcular o rotacional (ou curl) de dois campos vetoriais,
e
, e depois verificar se eles são conservativos. Além disso, temos que mostrar que o rotacional de um gradiente sempre dá zero. O conteúdo aqui é de cálculo vetorial, especificamente sobre rotacional e campos conservativos. Para resolver, vamos precisar saber como calcular o rotacional de um campo vetorial e entender o que significa ser um campo conservativo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o rotacional de um campo vetorial. O rotacional, denotado por
, mede a tendência de rotação ou vortices de um campo vetorial
. Para calcular, usamos a seguinte fórmula em coordenadas cartesianas:
Passo 3
Vamos calcular o rotacional do campo
. Aplicando a fórmula:
Calculando as derivadas:
Passo 4
Agora, vamos calcular o rotacional do campo
. Novamente, aplicando a fórmula do rotacional:
Simplificando as derivadas:
Passo 5
Agora que temos os rotacionais, vamos verificar se os campos são conservativos. Um campo vetorial é conservativo se seu rotacional for igual a zero.
- Para
, , então é conservativo. - Para
, , então não é conservativo.
Passo 6
Por último, vamos mostrar que o rotacional de um gradiente é sempre zero. Seja
uma função escalar, então o gradiente de
é
. Vamos calcular
:
Usando a fórmula do rotacional:
Como as derivadas parciais mistas são iguais (teorema de Schwarz), cada componente do rotacional será zero:
Isso mostra que o rotacional de um gradiente sempre é nulo.
Resposta
O rotacional de
é zero, portanto
é conservativo. O rotacional de
é
, que não é zero, então
não é conservativo. Além disso, mostramos que o rotacional do gradiente de qualquer função escalar
é sempre zero.