Calcule o rotacional dos campos abaixo e responda: são conservativos?
A=x x+2 y y+3 z z ; B=3 y x-2 x y
Dica: um campo é conservativo se seu rotacional for nulo.
Mostre que: The curl of a gradient is always zero:
nabla times(nabla T)=0

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente calcular o rotacional (ou curl) de dois campos vetoriais, A e B, e depois verificar se eles são conservativos. Além disso, temos que mostrar que o rotacional de um gradiente sempre dá zero. O conteúdo aqui é de cálculo vetorial, especificamente sobre rotacional e campos conservativos. Para resolver, vamos precisar saber como calcular o rotacional de um campo vetorial e entender o que significa ser um campo conservativo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o rotacional de um campo vetorial. O rotacional, denotado por nabla times F, mede a tendência de rotação ou vortices de um campo vetorial F. Para calcular, usamos a seguinte fórmula em coordenadas cartesianas:
nabla times F = ( partial Fzpartial y - partial Fypartial z ) x + ( partial Fxpartial z - partial Fzpartial x ) y + ( partial Fypartial x - partial Fxpartial y ) z

Passo 3

Vamos calcular o rotacional do campo A = x x + 2y y + 3z z. Aplicando a fórmula:
nabla times A = ( partial 3zpartial y - partial 2ypartial z ) x + ( partial xpartial z - partial 3zpartial x ) y + ( partial 2ypartial x - partial xpartial y ) z
Calculando as derivadas:
= (0 - 0) x + (0 - 0) y + (0 - 0) z = 0

Passo 4

Agora, vamos calcular o rotacional do campo B = 3y x - 2x y. Novamente, aplicando a fórmula do rotacional:
nabla times B = ( partial 0partial y - partial (-2x)partial z ) x + ( partial 3ypartial z - partial 0partial x ) y + ( partial (-2x)partial x - partial 3ypartial y ) z
Simplificando as derivadas:
= (0 - 0) x + (0 - 0) y + (-2 - 3) z = -5 z

Passo 5

Agora que temos os rotacionais, vamos verificar se os campos são conservativos. Um campo vetorial é conservativo se seu rotacional for igual a zero.
  • Para A, nabla times A = 0, então A é conservativo.
  • Para B, nabla times B = -5 z neq 0, então B não é conservativo.

Passo 6

Por último, vamos mostrar que o rotacional de um gradiente é sempre zero. Seja T uma função escalar, então o gradiente de T é nabla T. Vamos calcular nabla times (nabla T):
Usando a fórmula do rotacional:
nabla times (nabla T) = ( partialpartial y(partial Tpartial z) - partialpartial z(partial Tpartial y) ) x + ( partialpartial z(partial Tpartial x) - partialpartial x(partial Tpartial z) ) y + ( partialpartial x(partial Tpartial y) - partialpartial y(partial Tpartial x) ) z
Como as derivadas parciais mistas são iguais (teorema de Schwarz), cada componente do rotacional será zero:
nabla times (nabla T) = 0
Isso mostra que o rotacional de um gradiente sempre é nulo.

Resposta

O rotacional de A é zero, portanto A é conservativo. O rotacional de B é -5 z, que não é zero, então B não é conservativo. Além disso, mostramos que o rotacional do gradiente de qualquer função escalar T é sempre zero.

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