A velocidade de um veículo é vec v=-0.5 t x+(1+0.075 t^3) y. a) Calcule as componentes do vetor aceleração entre 0 e 2 s b ) Determine a aceleração em t=2 s.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos a velocidade de um veículo expressa pelo vetor v = -0.5 t, x + (1 + 0.075 t^3) y. A primeira parte da questão (a) quer que calculemos as componentes do vetor aceleração entre 0 e 2 segundos. A segunda parte (b) pede para determinar a aceleração exatamente em t = 2, s.
Vamos usar o conceito de cálculo vetorial, especificamente derivadas, para encontrar a aceleração a partir da velocidade.

Passo 2

Primeiro, lembremos que a aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo. Ou seja:
a = dvdt
Isso significa que precisamos derivar cada componente da velocidade em relação ao tempo t.

Passo 3

Vamos derivar a componente x da velocidade:
vx = -0.5 t
A derivada de vx em relação a t é:
ax = d(-0.5 t)dt = -0.5
Então, a componente x da aceleração é constante e igual a -0.5, m/s^2.

Passo 4

Agora, vamos derivar a componente y da velocidade:
vy = 1 + 0.075 t^3
A derivada de vy em relação a t é:
ay = d(1 + 0.075 t^3)dt = 0 + 0.225 t^2 = 0.225 t^2
Então, a componente y da aceleração depende de t e é igual a 0.225 t^2, m/s^2.

Passo 5

Para a parte (a), queremos saber as componentes da aceleração entre 0 e 2, s. Como vimos:
ax = -0.5, m/s^2
ay = 0.225 t^2, m/s^2
Essas são as expressões das componentes da aceleração nesse intervalo de tempo.

Passo 6

Agora, para a parte (b), precisamos determinar a aceleração em t = 2, s. Basta substituir t = 2 nas expressões que encontramos:
ax = -0.5, m/s^2
ay = 0.225 times (2)^2 = 0.225 times 4 = 0.9, m/s^2

Resposta

A aceleração do veículo em t = 2, s é a = -0.5, x + 0.9, y, m/s^2.

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