Seja
uma função real. Prove que se
, então
.
Passo 1
Estamos lidando com limites de funções reais: a questão afirma que se
, então devemos provar que
. Vamos usar definição
-
e a identidade de diferença de quadrados.
Passo 2
Pela definição de limite, para qualquer
existe
tal que, sempre que
e
, temos
. Essa escolha vai nos ajudar a controlar tanto
quanto
.
Passo 3
Observe a identidade algébrica
Passo 4
Para
, já temos
, logo
e então por desigualdade triangular
Passo 5
Agora podemos estimar o desvio do quadrado:
Passo 6
Isso mostra que para todo
existe
tal que se
então
.
Resposta
Portanto,
.