Seja f: A R uma função real. Prove que se lim x p f(x)=L, então lim x p(f(x))^2=L^2.

Passo 1

Estamos lidando com limites de funções reais: a questão afirma que se limxto pf(x)=L, então devemos provar que limxto p(f(x))^2 = L^2. Vamos usar definição varepsilon- de e a identidade de diferença de quadrados.

Passo 2

Pela definição de limite, para qualquer varepsilon>0 existe de0 tal que, sempre que xin A e 0<|x-p|, temos |f(x)-L|. Essa escolha vai nos ajudar a controlar tanto |f(x)-L| quanto |f(x)+L|.

Passo 3

Observe a identidade algébrica
(f(x))^2 - L^2 =l(f(x)-Lr)l(f(x)+Lr)

Passo 4

Para 0<|x-p|, já temos |f(x)-L|<1, logo
|f(x)| <= |f(x)-L| + |L| < 1 + |L|,
e então por desigualdade triangular
|f(x)+L| <= |f(x)| + |L| < (1+|L|) + |L| = 2|L| + 1

Passo 5

Agora podemos estimar o desvio do quadrado:
|(f(x))^2 - L^2| = |f(x)-L|,|f(x)+L| < varepsilon2|L|+1,(2|L|+1) = varepsilon

Passo 6

Isso mostra que para todo varepsilon>0 existe de0 tal que se 0<|x-p| então |(f(x))^2 - L^2|.

Resposta

Portanto, limxto p(f(x))^2 = L^2.

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