função
é derivável em
?Por quê?
Passo 1
A questão apresenta a função por partes
f(x)=
f(x)=
e pede se ela é derivável em p=1. O conteúdo é derivabilidade de função definida por partes, e vamos precisar verificar continuidade em x=1 e as derivadas laterais.
Passo 2
Primeiro a gente checa continuidade em x=1, porque derivabilidade implica continuidade. Calculamos:
Como o limite à direita (2) difere de f(1) (1), f não é contínua em x=1.
Passo 3
Mesmo sem continuidade já dá para concluir que não é derivável, mas vamos ver as derivadas laterais para entender melhor. A derivada à esquerda em x=1 é
Passo 4
Agora a derivada à direita em x=1:
Como os dois lados não coincidem (e ainda temos salto na própria função), f não é derivável em x=1.
Resposta
Não. A função não é derivável em p=1 porque não é contínua ali (há um salto de 1 para 2) e as derivadas laterais são diferentes (a direita diverge).