(1,0) A função
f(x)=lx^2, se x <= 1 2, se x>1 é derivável em p=1 ?Por quê?

Passo 1

A questão apresenta a função por partes
f(x)=
x^2, & x<=1 2, & x>1
e pede se ela é derivável em p=1. O conteúdo é derivabilidade de função definida por partes, e vamos precisar verificar continuidade em x=1 e as derivadas laterais.

Passo 2

Primeiro a gente checa continuidade em x=1, porque derivabilidade implica continuidade. Calculamos:
f(1)=1^2=1,
limxto1^-f(x)=limxto1^-x^2=1,
limxto1^+f(x)=limxto1^+2=2
Como o limite à direita (2) difere de f(1) (1), f não é contínua em x=1.

Passo 3

Mesmo sem continuidade já dá para concluir que não é derivável, mas vamos ver as derivadas laterais para entender melhor. A derivada à esquerda em x=1 é
f'-(1)=limhto0^-f(1+h)-f(1)h=limhto0^-(1+h)^2-1h=limhto0^-2h+h^2h=2

Passo 4

Agora a derivada à direita em x=1:
f'+(1)=limhto0^+f(1+h)-f(1)h=limhto0^+2-1h=limhto0^+1h=+infty
Como os dois lados não coincidem (e ainda temos salto na própria função), f não é derivável em x=1.

Resposta

Não. A função não é derivável em p=1 porque não é contínua ali (há um salto de 1 para 2) e as derivadas laterais são diferentes (a direita diverge).

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