Calcule o rotacional e o divergente dos campos:
F(x, y, z)=-y i+x j+z k.

Passo 1

Temos o campo vetorial F(x,y,z) = -y,i + x,j + z,k. O que a gente precisa é calcular o divergente e o rotacional desse campo usando as definições de nablacdot e nablatimes.

Passo 2

O divergente de um campo F = (Fx,Fy,Fz) é dado por:
nablacdotF = partial Fxpartial x + partial Fypartial y + partial Fzpartial z
No nosso caso, Fx = -y, Fy = x e Fz = z. Calculando cada derivada temos:
partial (-y)partial x = 0, partial xpartial y = 0, partial zpartial z = 1
Somando tudo, o divergente fica igual a 0 + 0 + 1 = 1.

Passo 3

O rotacional de F é definido por:
nablatimesF = i & j & k partialx & partialy & partialz Fx & Fy & Fz
Substituindo Fx=-y, Fy=x e Fz=z, e calculando as derivadas parciais, a gente obtém:
(nablatimesF)x = partial Fzpartial y - partial Fypartial z = 0 - 0 = 0,
(nablatimesF)y = partial Fxpartial z - partial Fzpartial x = 0 - 0 = 0,
(nablatimesF)z = partial Fypartial x - partial Fxpartial y = 1 - (-1) = 2
Portanto, nablatimesF = 0,i + 0,j + 2,k = 2,k.

Resposta

Divergente: 1; Rotacional: 2,k.

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