Verifique se cada uma das séries abaixo é convergente ou divergente, justificando sua resposta:

Passo 1

Enunciado: analisar convergência da série sumn=2^infty raizn,lnl(n+1nr). Conteúdo: testes de convergência de séries numéricas, especialmente comparação limite e comportamento de ln(1+x) quando xto0.

Passo 2

Observamos que lnl(tfracn+1nr)=lnl(1+tfrac1nr). Para n grande, usamos a expansão ln(1+x)approx x quando xto0, logo lnl(1+tfrac1nr)simtfrac1n.

Passo 3

Então o termo geral an=raizn,lnl(tfracn+1nr) comporta-se como raizn,tfrac1n=n^-1/2. Sabemos que a série sum n^-1/2 diverge ( p-série com p=tfrac12<1).

Passo 4

Para ser rigoroso, use o teste de comparação limite com bn=n^-1/2. Calculamos
limntoinftyanbn =limntoinftyraizn,lnl(1+tfrac1nr)n^-1/2 =limntoinftyn,lnl(1+tfrac1nr)=1
Como o limite é finito e não nulo, ambas séries têm o mesmo comportamento. Logo, nossa série diverge.

Resposta

Divergente.

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