Calcule o rotacional e o divergente dos seguintes campos:
Passo 1
O enunciado pede para calcular o divergente e o rotacional (curl) do campo vetorial em duas variáveis
vec F(x,y)=l(e^xcos(y),,e^xsin(y)r)
O conteúdo aqui é cálculo vetorial: usamos
– para o divergente, a definição nablacdotvec F=partial F1partial x+partial F2partial y;
– para o rotacional em 2D (componente em z), nablatimesvec F=partial F2partial x-partial F1partial y, que resulta num vetor ao longo de k.
Passo 2
Calcular as derivadas parciais necessárias para o divergente: partial F1partial x =partialpartial xl(e^xcos yr) =e^xcos y, partial F2partial y =partialpartial yl(e^xsin yr) =e^xcos y.
Passo 3
Aplicar a definição de divergente:
nablacdotvec F =partial F1partial x+partial F2partial y =e^xcos y + e^xcos y =2e^xcos y
Passo 4
Calcular as derivadas parciais para o rotacional: partial F2partial x =partialpartial xl(e^xsin yr) =e^xsin y, partial F1partial y =partialpartial yl(e^xcos yr) =-,e^xsin y.
Passo 5
Aplicar a definição de rotacional (componente em z):
nablatimesvec F =l(partial F2partial x-partial F1partial yr)k =l(e^xsin y -(-e^xsin y)r)k =2e^xsin y,k
Resposta
nablacdotvec F = 2e^xcos y nablatimesvec F = 2e^xsin y,k