Calcule o rotacional e o divergente dos seguintes campos:
F(x, y)=e^x xrightarrowcos (y) i+e^x sin (y)

Passo 1

O enunciado pede para calcular o divergente e o rotacional (curl) do campo vetorial em duas variáveis
vec F(x,y)=l(e^xcos(y),,e^xsin(y)r)
O conteúdo aqui é cálculo vetorial: usamos
– para o divergente, a definição nablacdotvec F=partial F1partial x+partial F2partial y;
– para o rotacional em 2D (componente em z), nablatimesvec F=partial F2partial x-partial F1partial y, que resulta num vetor ao longo de k.

Passo 2

Calcular as derivadas parciais necessárias para o divergente:
partial F1partial x =partialpartial xl(e^xcos yr) =e^xcos y,
partial F2partial y =partialpartial yl(e^xsin yr) =e^xcos y.

Passo 3

Aplicar a definição de divergente:
nablacdotvec F =partial F1partial x+partial F2partial y =e^xcos y + e^xcos y =2e^xcos y

Passo 4

Calcular as derivadas parciais para o rotacional:
partial F2partial x =partialpartial xl(e^xsin yr) =e^xsin y,
partial F1partial y =partialpartial yl(e^xcos yr) =-,e^xsin y.

Passo 5

Aplicar a definição de rotacional (componente em z):
nablatimesvec F =l(partial F2partial x-partial F1partial yr)k =l(e^xsin y -(-e^xsin y)r)k =2e^xsin y,k

Resposta

nablacdotvec F = 2e^xcos y
nablatimesvec F = 2e^xsin y,k

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