Exercício 3.5. Nos itens abaixo, determinar a forma apropriada de Y(x) para usar o método dos coeficientes indeterminados. Não calcular as constantes.
y^prime prime+3 y^prime+2 y=e^x(x^2+1) sin (2 x)+3 e^-x cos (x)+4 e^x.

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial linear com coeficientes constantes
y'' + 3y' + 2y = e^x(x^2+1)sin(2x) ;+; 3e^-xcos(x);+;4e^x
e pede apenas a forma apropriada de Y(x) pelo método dos coeficientes indeterminados, sem determinar as constantes. A equação característica é
r^2+3r+2=(r+1)(r+2)=0,
com raízes r=-1 e r=-2, de forma que não há ressonância com os termos das partes não homogêneas que envolvem e^x, e^-xcos x e e^xsin(2x).

Passo 2

Para o termo e^x(x^2+1)sin(2x), como temos um polinômio de grau 2 multiplicando sin(2x) e um fator e^x, o ansatz padrão é
Y1(x)=e^xl[(A x^2 + B x + C)sin(2x);+;(D x^2 + E x + F)cos(2x)r],
onde A,B,C,D,E,F são constantes a determinar.

Passo 3

Para o termo 3e^-xcos(x), temos e^-xcos(x) e grau zero em polinômio, sem ressonância. O ansatz é
Y2(x)=e^-xl(Gcos(x)+Hsin(x)r),
com constantes G,H.

Passo 4

Para o termo 4e^x, temos apenas exponencial e^x sem polinômio associado e sem ressonância, então propomos
Y3(x)=I,e^x,
com constante I.

Passo 5

A forma geral do particular é a soma dos três ansatz:
Y(x)=Y1(x)+Y2(x)+Y3(x)

Resposta

Y(x) =e^xl[(A x^2 + B x + C)sin(2x)+(D x^2 + E x + F)cos(2x)r] ;+;e^-xl(Gcos(x)+Hsin(x)r) ;+;I,e^x,
onde A,B,C,D,E,F,G,H,I são coeficientes indeterminados.

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