Nos Problemas 1-24, resolva cada equação diferencial pelo mélodo da variaçăo dos paràmetros. Defina um intervalo no qual a solução geral seja válida.
14. y^prime prime-2 y^2+y=e^x arctg x

Passo 1

Temos a equação diferencial linear de segunda ordem
y'' - 2y' + y = e^x ,arctan x
Vamos resolver pelo método da variação dos parâmetros. Precisamos primeiro encontrar a solução geral da homogênea e depois determinar uma particular via variação dos parâmetros.

Passo 2

A equação homogênea associada é
y'' - 2y' + y = 0
A equação característica é
r^2 - 2r + 1 = 0 ;Longrightarrow;(r-1)^2 = 0,
com raiz dupla r=1. Logo duas soluções linearmente independentes são
y1 = e^x, y2 = x e^x

Passo 3

O Wronskiano de y1,y2 é
W = y1 & y2 y1' & y2' = e^x & x e^x e^x & (x+1)e^x = e^x cdot (x+1)e^x - x e^x cdot e^x = e^2x

Passo 4

Para a variação dos parâmetros escrevemos
yp = u1(x),y1 + u2(x),y2,
onde
u1' = -f(x),y2W, u2' = f(x),y1W,
com f(x)=e^xarctan x. Assim
u1' = -e^xarctan x;cdot;x e^xe^2x = -,x,arctan x, u2' = e^xarctan x;cdot;e^xe^2x = arctan x

Passo 5

Integramos para obter u1 e u2:
u1 = -integral x,arctan x,dx, u2 = integral arctan x,dx
Usando integração por partes:
integral x,arctan x,dx = x^22arctan x - 12!integralx^21+x^2dx = x^2+12arctan x - x2,
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u1 = -x^2+12arctan x + x2
E
integral arctan x,dx = x,arctan x - 12lnl(1+x^2r) ;Longrightarrow; u2 = x,arctan x - tfrac12lnl(1+x^2r)

Passo 6

Agora
yp = u1,e^x + u2,(x e^x)
Substituindo e agrupando termos em e^x, obtemos
yp = e^xl[tfrac12(x^2-1),arctan x + tfracx2 - tfracx2ln(1+x^2)r]

Passo 7

A solução geral da equação é
y(x) = C1 e^x + C2,x e^x + e^xl[tfrac12(x^2-1),arctan x + tfracx2 - tfracx2ln(1+x^2)r]

Passo 8

Como os coeficientes e o termo de força e^xarctan x são contínuos em R e o Wronskiano e^2x nunca é zero, esta solução é válida em todo o intervalo (-infty,infty).

Resposta

boxed y(x) = C1 e^x + C2,x e^x + e^xl[tfrac12(x^2-1),arctan x + tfracx2 - tfracx2ln(1+x^2)r], xin(-infty,infty)

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