Calcule o rotacional e o divergente dos seguintes campos:
F(x, y, z)=(y^2+z^2) i+x e^y cos (z) j-x e^y cos (z) k

Passo 1

O enunciado pede que a gente calcule o divergente e o rotacional do campo vetorial
vec F(x,y,z) = (y^2+z^2),vec i ;+; x e^ycos(z),vec j ;-; x e^ycos(z),vec k
O conteúdo aqui é cálculo vetorial em R^3. Para o divergente usamos
nablacdotvec F = partial Fxpartial x + partial Fypartial y + partial Fzpartial z,
e para o rotacional usamos
nablatimesvec F = l(partialyFz-partialzFy,,partialzFx-partialxFz,,partialxFy-partialyFxr).

Passo 2

Calculemos o divergente. Primeiro cada derivada parcial:
partialpartial x(y^2+z^2) = 0, partialpartial yl(x e^ycos zr) = x e^ycos z, partialpartial zl(-x e^ycos zr) = -x e^y(-sin z) = x e^ysin z
Somando, obtemos
nablacdotvec F = 0 + x e^ycos z + x e^ysin z = x e^yl(cos z + sin zr)

Passo 3

Agora o rotacional, compondo cada coordenada:
  1. Componente i:
partialyFz-partialzFy = partialpartial yl(-x e^ycos zr) - partialpartial zl(x e^ycos zr) = -x e^ycos z - l(-x e^ysin zr) = x e^yl(sin z - cos zr)
  1. Componente j:
partialzFx-partialxFz = partialpartial z(y^2+z^2) - partialpartial xl(-x e^ycos zr) = 2z - l(-e^ycos zr) = 2z + e^ycos z
  1. Componente k:
partialxFy-partialyFx = partialpartial xl(x e^ycos zr) - partialpartial y(y^2+z^2) = e^ycos z - 2y
Portanto
nablatimesvec F = x e^yl(sin z - cos zr),vec i ;+;l(2z + e^ycos zr),vec j ;+;l(e^ycos z - 2yr),vec k

Resposta

Divergente:
nablacdotvec F = x e^yl(cos z + sin zr)
Rotacional:
nablatimesvec F = x e^yl(sin z - cos zr),vec i ;+;l(2z + e^ycos zr),vec j ;+;l(e^ycos z - 2yr),vec k

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