1. Seja f uma função definida em R tal que para todo x neq 1, -x^2+3 x <= f(x)<x^2-1x-1. Calcule lim x 1 f(x) e justifique.
  2. Prove: lim h 0 f(h)h=0 Leftrightarrow lim h 0 f(h)|h|=0.

Passo 1

No exercício 1 temos uma função f definida em R que satisfaz, para todo xneq1,
-x^2+3x ;<=; f(x) ;<;x^2-1x-1,,
e precisamos calcular limxto1f(x). Vamos usar o Teorema do Confronto (ou “squeeze theorem”) para isso.

Passo 2

Observe a parte superior da desigualdade: para xneq1,
x^2-1x-1 =(x-1)(x+1)x-1 =x+1

Passo 3

Calculemos os limites das duas funções que “confrontam” f(x):
limxto1(-x^2+3x) =-1+3 =2,
limxto1(x+1) =2

Passo 4

Como para todo xneq1 vale
-x^2+3x ;<=; f(x) ;<; x+1,
e ambos limites dos “bancos” são 2, pelo Teorema do Confronto segue
limxto1f(x)=2

Passo 5

No exercício 12 queremos mostrar que
limhto0f(h)h=0 Long<=ftrightarrow limhto0f(h)lvert hrvert=0

Passo 6

Direção “ Rightarrow”: suponha limhto0tfracf(h)h=0. Para hneq0 escrevemos
f(h)lvert hrvert =f(h)h;hlvert hrvert =f(h)h,sgn(h),
onde sgn(h)=h/lvert hrvert vale +1 ou -1. Dado varepsilon>0, existe de<a>0 tal que lvert f(h)/hrvert<varepsilon sempre que 0<lvert hrvert<de<a. Então
llvertf(h)lvert hrvertrrvert =llvertsgn(h)rrvert ;llverttfracf(h)hrrvert =llverttfracf(h)hrrvert <varepsilon,
logo limhto0f(h)/lvert hrvert=0.

Passo 7

Direção “ Leftarrow”: suponha limhto0tfracf(h)lvert hrvert=0. Análogo ao caso anterior, escreva
f(h)h =f(h)lvert hrvert;lvert hrverth =f(h)lvert hrvert,sgn(h),
e use o mesmo argumento de que lvertsgn(h)rvert=1 para concluir limhto0f(h)/h=0.

Resposta

As duas condições são equivalentes, isto é,
limhto0f(h)h=0 Long<=ftrightarrow limhto0f(h)lvert hrvert=0

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