- Seja
uma função definida em
tal que para todo
,
. Calcule
e justifique.
- Prove:
.
Passo 1
No exercício 1 temos uma função
definida em
que satisfaz, para todo
,
e precisamos calcular
. Vamos usar o Teorema do Confronto (ou “squeeze theorem”) para isso.
Passo 2
Observe a parte superior da desigualdade: para
,
Passo 3
Calculemos os limites das duas funções que “confrontam”
:
Passo 4
Como para todo
vale
e ambos limites dos “bancos” são
, pelo Teorema do Confronto segue
Passo 5
No exercício 12 queremos mostrar que
Passo 6
Direção “
”: suponha
. Para
escrevemos
onde
vale
ou
. Dado
, existe
tal que
sempre que
. Então
logo
limhto0f(h)/lvert hrvert=0 .
Passo 7
Direção “
Leftarrow ”: suponha
limhto0tfracf(h)lvert hrvert=0 . Análogo ao caso anterior, escreva
e use o mesmo argumento de que
lvertsgn(h)rvert=1 para concluir
limhto0f(h)/h=0 .
Resposta
As duas condições são equivalentes, isto é,