Calcule o rotacional e o divergente dos seguintes campos:
F(x, y, z)=raizx^2+y^2+1 i+raizx^2+y^2+1 j+z^2 k

Passo 1

O enunciado fornece o campo vetorial
vec F(x,y,z) = P,vec i + Q,vec j + R,vec k
com
P = raizx^2 + y^2 + 1, Q = raizx^2 + y^2 + 1, R = z^2
Vamos usar as definições
nablacdotvec F = partial Ppartial x + partial Qpartial y + partial Rpartial z, nablatimesvec F = vec i & vec j & vec k [6pt] partialx & partialy & partialz [3pt] P & Q & R
para calcular o divergente e o rotacional.]

Passo 2

Aplicamos a regra da cadeia para obter as derivadas parciais que entram no divergente:
partialpartial xraizx^2+y^2+1 = xraizx^2+y^2+1, partialpartial yraizx^2+y^2+1 = yraizx^2+y^2+1,
partialpartial z(z^2)=2z

Passo 3

Somando essas derivadas temos
nablacdotvec F = xraizx^2+y^2+1 + yraizx^2+y^2+1 + 2z = x+yraizx^2+y^2+1 ;+; 2z

Passo 4

Para o rotacional, precisamos das seguintes parciais:
partial Rpartial y=0, partial Qpartial z=0, partial Ppartial z=0, partial Rpartial x=0,
partial Qpartial x=xraizx^2+y^2+1, partial Ppartial y=yraizx^2+y^2+1

Passo 5

Montando cada componente de nablatimesvec F:
(nablatimesvec F)x = partial Rpartial y - partial Qpartial z = 0, (nablatimesvec F)y = partial Ppartial z - partial Rpartial x = 0,
(nablatimesvec F)z = partial Qpartial x - partial Ppartial y = xraizx^2+y^2+1 - yraizx^2+y^2+1 = x - yraizx^2+y^2+1
Portanto,
nablatimesvec F = l(0,,0,,tfracx - yraizx^2+y^2+1r)

Resposta

Divergente:
nablacdotvec F = x+yraizx^2+y^2+1 ;+; 2z
Rotacional:
nablatimesvec F = l(0,,0,,tfracx - yraizx^2+y^2+1r)

Exercícios relacionados