Calcule o rotacional e o divergente dos seguintes campos:
F(x, y, z)=x(x^2+y^2)^32 i+-y(x^2+y^2)^32 j+k

Passo 1

O enunciado pede para calcular o divergente e o rotacional do campo
que é um exercício de cálculo vetorial. Vamos usar as definições

Passo 2

Calcular o divergente:
  1. Fx=dfracx(x^2+y^2)^3/2. partial Fxpartial x =(x^2+y^2)^3/2-xcdot32(x^2+y^2)^1/2cdot2x (x^2+y^2)^3 =y^2-2x^2(x^2+y^2)^5/2
  2. Fy=-dfracy(x^2+y^2)^3/2. partial Fypartial y =-(x^2+y^2)^3/2-ycdot32(x^2+y^2)^1/2cdot2y (x^2+y^2)^3 =2y^2-x^2(x^2+y^2)^5/2
  3. Fz=1 é constante, logo partial Fzpartial z=0
Somando:
divvec F =y^2-2x^2(x^2+y^2)^5/2 +2y^2-x^2(x^2+y^2)^5/2 +0 =3(y^2-x^2)(x^2+y^2)^5/2

Passo 3

Calcular o rotacional usando a fórmula de determinante. Como não depende de em e é constante,
os dois primeiros componentes de valem zero. Resta o terceiro componente:

  1. Logo,

Passo 4

Juntando tudo, temos

Resposta

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