Nos Problemas 1-24, resolva cada equação diferencial pelo mélodo da variaçăo dos paràmetros. Defina um intervalo no qual a solução geral seja válida.
20. 4 y^prime prime-4 y^prime+y=e^t / 2 raiz1-x^2

Passo 1

O enunciado pede para resolver, por variação dos parâmetros, a equação
4y''-4y'+y ;=; e^t/2raiz1-t^2,
que é uma EDO linear de segunda ordem não homogênea. Vamos primeiro achar a solução geral da homogênea e depois usar variação dos parâmetros para obter uma particular. Note que o termo raiz1-t^2 impõe naturalmente o intervalo de validade -1<t<1.

Passo 2

Resolva a equação homogênea associada
4y''-4y'+y=0
A equação característica é
4r^2-4r+1=0,
cuja discrimante é 16-16=0, ou seja, temos raiz dupla
r=48=12
Logo as duas soluções fundamentais são
y1(t)=e^t/2, y2(t)=t,e^t/2

Passo 3

Pela variação dos parâmetros buscamos
yp(t)=u(t),y1(t)+v(t),y2(t)
com as condições auxiliares
u'(t),y1(t)+v'(t),y2(t)=0,[6pt] u'(t),y1'(t)+v'(t),y2'(t)=dfrace^t/2raiz1-t^24 ]

Passo 4

Calcule as derivadas
Dividindo tudo por
Da primeira equação vem (u’=-t,v’]. Substituindo na segunda,

e então
]

Passo 5

Integre para achar u e v.
v(t)=14integralraiz1-t^2,dt =14l(t2raiz1-t^2+12arcsin tr) =traiz1-t^28+arcsin t8,
u(t)=-14integral traiz1-t^2,dt =-14l(-13(1-t^2)^3/2r) =(1-t^2)^3/212
(Escolhemos as constantes de integração zero para a parte particular.)

Passo 6

Forme a solução particular
yp(t)=u(t)e^t/2+v(t),t,e^t/2 =e^t/2l[u(t)+t,v(t)r]
Temos
u(t)+t,v(t) =(1-t^2)^3/212 +t^2raiz1-t^28 +tarcsin t8 =e^t/2l[(2+t^2)raiz1-t^224+tarcsin t8r]

Passo 7

A solução geral é
y(t) =C1e^t/2+C2,t,e^t/2 +e^t/2l[(2+t^2)raiz1-t^224+tarcsin t8r]

Resposta

A solução geral da equação
4y''-4y'+y=e^t/2raiz1-t^2
é
y(t) =C1e^t/2+C2,t,e^t/2 +e^t/2l[(2+t^2)raiz1-t^224+tarcsin t8r],
válida no intervalo -1<t<1.

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