Nos Problemas 1-24, resolva cada equação diferencial pelo mélodo da variaçăo dos paràmetros. Defina um intervalo no qual a solução geral seja válida.
20.
Passo 1
O enunciado pede para resolver, por variação dos parâmetros, a equação
que é uma EDO linear de segunda ordem não homogênea. Vamos primeiro achar a solução geral da homogênea e depois usar variação dos parâmetros para obter uma particular. Note que o termo impõe naturalmente o intervalo de validade .
Passo 2
Resolva a equação homogênea associada
A equação característica é
cuja discrimante é , ou seja, temos raiz dupla
Logo as duas soluções fundamentais são
Passo 3
Pela variação dos parâmetros buscamos
com as condições auxiliares
]
Passo 4
Calcule as derivadas
Dividindo tudo por
Da primeira equação vem (u’=-t,v’]. Substituindo na segunda,
e então ]