Nos Problemas 1-24, resolva cada equação diferencial pelo mélodo da variaçăo dos paràmetros. Defina um intervalo no qual a solução geral seja válida.
23.
Passo 1
O enunciado pede para resolver, por variação de parâmetros, a equação diferencial linear de terceira ordem com coeficientes constantes
e definir um intervalo em que a solução geral seja válida. Trata-se de um ODE de coeficientes constantes, logo todas as funções envolvidas são contínuas em e a solução vale em qualquer intervalo de .
Passo 2
Começamos pela parte homogênea
A equação característica é
Testando vemos que anula o polinômio, então dividimos por e obtemos
Passo 3
As raízes distintas dão o conjunto fundamental de soluções
e a solução geral da homogênea é
Passo 4
Para obter uma particular por variação de parâmetros fazemos
com as condições
O sistema resultante, via regra de Cramer, leva a integrais muito grandes, mas para ODEs de coeficientes constantes com termo forçante e^Rx (sendo R não raiz da característica) existe o atalho
yp(x)=e^RxQ(R),
onde Q(r)=r^3-3r^2+2. Aqui R=3 não é raiz, e
Q(3)=3^3-3cdot3^2+2=27-27+2=2,
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yp=12e^3x
Passo 5
A solução geral é a soma da homogênea com a particular: