Nos Problemas 1-24, resolva cada equação diferencial pelo mélodo da variaçăo dos paràmetros. Defina um intervalo no qual a solução geral seja válida.
23. y^prime prime prime-2 y^prime prime-y^prime prime+2 y=e^3 x

Passo 1

O enunciado pede para resolver, por variação de parâmetros, a equação diferencial linear de terceira ordem com coeficientes constantes
y'''-3y''+2y=e^3x,
e definir um intervalo em que a solução geral seja válida. Trata-se de um ODE de coeficientes constantes, logo todas as funções envolvidas são contínuas em R e a solução vale em qualquer intervalo de R.

Passo 2

Começamos pela parte homogênea
y'''-3y''+2y=0
A equação característica é
r^3-3r^2+2=0
Testando r=1 vemos que anula o polinômio, então dividimos por r-1 e obtemos
r^2-2r-2=0Longrightarrow r=1pmraiz3

Passo 3

As raízes distintas dão o conjunto fundamental de soluções
y1=e^x, y2=e^(1+raiz3)x, y3=e^(1-raiz3)x,
e a solução geral da homogênea é
yh=C1e^x+C2e^(1+raiz3)x+C3e^(1-raiz3)x

Passo 4

Para obter uma particular por variação de parâmetros fazemos
yp=u1(x)y1+u2(x)y2+u3(x)y3
com as condições
u1'y1+u2'y2+u3'y3=0, u1'y1'+u2'y2'+u3'y3'=0, u1'y1''+u2'y2''+u3'y3''=e^3x
O sistema resultante, via regra de Cramer, leva a integrais muito grandes, mas para ODEs de coeficientes constantes com termo forçante e^Rx (sendo R não raiz da característica) existe o atalho
yp(x)=e^RxQ(R),
onde Q(r)=r^3-3r^2+2. Aqui R=3 não é raiz, e
Q(3)=3^3-3cdot3^2+2=27-27+2=2,
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yp=12e^3x

Passo 5

A solução geral é a soma da homogênea com a particular:
y(x)=C1e^x+C2e^(1+raiz3)x+C3e^(1-raiz3)x+12e^3x

Resposta

y(x)=C1e^x+C2e^(1+raiz3)x+C3e^(1-raiz3)x+tfrac12e^3x,
válida para todo xinR.

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