Calcule o rotacional e o divergente dos seguintes campos vetoriais:
& F(x, y, z)=x y z i-x^2 y k & F(x, y, z)=x^2 y z i+x y^2 z j+x y z^2 k & F(x, y, z)=i+(x+y z) j+(x y-raizz) k

Passo 1

O enunciado pede para calcular o divergente e o rotacional de três campos vetoriais em R^3. O conteúdo é Cálculo Vetorial, e vamos precisar das definições
nablacdotF e nablatimesF.

Passo 2

Relembrando as fórmulas:
O divergente de F=(Fx,Fy,Fz) é
nablacdotF=partial Fxpartial x +partial Fypartial y +partial Fzpartial z
O rotacional de F é dado por
nablatimesF = i & j & k partialx & partialy & partialz Fx & Fy & Fz ,
isto é,
nablatimesF =l(partialyFz-partialzFyr)i +l(partialzFx-partialxFzr)j +l(partialxFy-partialyFxr)k

Passo 3

Para F1(x,y,z)=xyz,i+0,j-x^2y,k:
O divergente é
nablacdotF1 =partialpartial x(xyz) +0 +partialpartial z(-x^2y) =yz+0+0=yz
O rotacional é
nablatimesF1 =l(partialy(-x^2y)-partialz0r)i +l(partialz(xyz)-partialx(-x^2y)r)j +l(partialx0-partialy(xyz)r)k,
logo
nablatimesF1 =-x^2,i +3xy,j - xz,k

Passo 4

Para F2(x,y,z)=x^2yz,i+xy^2z,j+xyz^2,k:
O divergente é
nablacdotF2 =partialpartial x(x^2yz) +partialpartial y(xy^2z) +partialpartial z(xyz^2) =2xyz+2xyz+2xyz=6xyz
O rotacional é
nablatimesF2 =l(partialy(xyz^2)-partialz(xy^2z)r)i +l(partialz(x^2yz)-partialx(xyz^2)r)j +l(partialx(xy^2z)-partialy(x^2yz)r)k,
o que dá
nablatimesF2 =l(xz^2-xy^2r)i +l(x^2y-yz^2r)j +l(y^2z-x^2zr)k,
ou factorando
nablatimesF2 =x(z^2-y^2),i +y(x^2-z^2),j +z(y^2-x^2),k

Passo 5

Para F3(x,y,z)=1,i+(x+yz),j+(xy-raizz),k:
O divergente é
nablacdotF3 =partialpartial x(1) +partialpartial y(x+yz) +partialpartial zl(xy-raizzr) =0+z-12raizz =z-12raizz
O rotacional é
nablatimesF3 =l(partialy(xy-raizz)-partialz(x+yz)r)i +l(partialz1-partialx(xy-raizz)r)j +l(partialx(x+yz)-partialy1r)k,
então
nablatimesF3 =(x-y),i -,y,j +1,k

Resposta

Para F1:
nablacdotF1=yz, nablatimesF1=-x^2,i+3xy,j-xz,k
Para F2:
nablacdotF2=6xyz, nablatimesF2 =x(z^2-y^2),i +y(x^2-z^2),j +z(y^2-x^2),k
Para F3:
nablacdotF3 =z-12raizz, nablatimesF3 =(x-y),i-y,j+1,k

Exercícios relacionados