Calcule o rotacional e o divergente dos seguintes campos vetoriais: & F(x, y, z)=x y z i-x^2 y k & F(x, y, z)=x^2 y z i+x y^2 z j+x y z^2 k & F(x, y, z)=i+(x+y z) j+(x y-raizz) k Passo 1O enunciado pede para calcular o divergente e o rotacional de três campos vetoriais em R^3. O conteúdo é Cálculo Vetorial, e vamos precisar das definições nablacdotF e nablatimesF. Passo 2Relembrando as fórmulas: O divergente de F=(Fx,Fy,Fz) é nablacdotF=partial Fxpartial x +partial Fypartial y +partial Fzpartial z O rotacional de F é dado por nablatimesF = i & j & k partialx & partialy & partialz Fx & Fy & Fz , isto é, nablatimesF =l(partialyFz-partialzFyr)i +l(partialzFx-partialxFzr)j +l(partialxFy-partialyFxr)k Passo 3Para F1(x,y,z)=xyz,i+0,j-x^2y,k: O divergente é nablacdotF1 =partialpartial x(xyz) +0 +partialpartial z(-x^2y) =yz+0+0=yz O rotacional é nablatimesF1 =l(partialy(-x^2y)-partialz0r)i +l(partialz(xyz)-partialx(-x^2y)r)j +l(partialx0-partialy(xyz)r)k, logo nablatimesF1 =-x^2,i +3xy,j - xz,k Passo 4Para F2(x,y,z)=x^2yz,i+xy^2z,j+xyz^2,k: O divergente é nablacdotF2 =partialpartial x(x^2yz) +partialpartial y(xy^2z) +partialpartial z(xyz^2) =2xyz+2xyz+2xyz=6xyz O rotacional é nablatimesF2 =l(partialy(xyz^2)-partialz(xy^2z)r)i +l(partialz(x^2yz)-partialx(xyz^2)r)j +l(partialx(xy^2z)-partialy(x^2yz)r)k, o que dá nablatimesF2 =l(xz^2-xy^2r)i +l(x^2y-yz^2r)j +l(y^2z-x^2zr)k, ou factorando nablatimesF2 =x(z^2-y^2),i +y(x^2-z^2),j +z(y^2-x^2),k Passo 5Para F3(x,y,z)=1,i+(x+yz),j+(xy-raizz),k: O divergente é nablacdotF3 =partialpartial x(1) +partialpartial y(x+yz) +partialpartial zl(xy-raizzr) =0+z-12raizz =z-12raizz O rotacional é nablatimesF3 =l(partialy(xy-raizz)-partialz(x+yz)r)i +l(partialz1-partialx(xy-raizz)r)j +l(partialx(x+yz)-partialy1r)k, então nablatimesF3 =(x-y),i -,y,j +1,k RespostaPara F1: nablacdotF1=yz, nablatimesF1=-x^2,i+3xy,j-xz,k Para F2: nablacdotF2=6xyz, nablatimesF2 =x(z^2-y^2),i +y(x^2-z^2),j +z(y^2-x^2),k Para F3: nablacdotF3 =z-12raizz, nablatimesF3 =(x-y),i-y,j+1,k MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETAExercícios relacionadosCalcule o divergente do campo vetorial dado. u(x, y, z)=x imath+y jmath+x z k Questão 1. Nos PVIs abaixo dtermine o maior intervalo no qual as hipóteses do teorema de existência e unicidade de soluções de EDOs lineares de 2 a ordem é válido. Não é necessário resolver as equações. lt y prime prime+3 y=t y(1)=1 ; y^prime(1)=2 Exercício 4. Esboce e calcule o comprimento dos arcos nos intervalos correspondentes. 36 y^2=(x^2-4)^3, 2 <= x <= 3, y >= 0; Exercício 4. Esboce e calcule o comprimento dos arcos nos intervalos correspondentes. y=x e^-x, 0 <= x <= 2;