Questão 1. Nos PVIs abaixo dtermine o maior intervalo no qual as hipóteses do teorema de existência e unicidade de soluções de EDOs lineares de 2 a ordem é válido. Não é necessário resolver as equações.
lt y prime prime+3 y=t y(1)=1 ; y^prime(1)=2

Passo 1

O enunciado dá o PVI
t,y'' + 3y = t, y(1)=1,;y'(1)=2,
e pede o maior intervalo contendo t0=1 em que valem as hipóteses do Teorema de Existência e Unicidade para EDOs lineares de 2ª ordem. Para aplicá-lo precisamos escrever a equação na forma padrão
y'' + p(t),y' + q(t),y = g(t)
e verificar onde p,q,g são contínuas.

Passo 2

Dividindo a equação por t (supondo tneq0) obtemos
y'' + underbrace0p(t),y' + underbrace3tq(t),y = underbracettg(t) = 1
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p(t)=0, q(t)=3t, g(t)=1

Passo 3

Agora identificamos o domínio de continuidade de cada função:
  • p(t)=0 é contínua em todo R.
  • q(t)=3/t é contínua em Rsetminus0.
  • g(t)=1 é contínua em todo R.
O único problema é em t=0. Portanto os coeficientes são contínuos em cada um dos intervalos (-infty,0) e (0,infty).

Passo 4

Como o ponto inicial é t0=1, que pertence a (0,infty), o maior intervalo que contém 1 e em que p,q,g são contínuas é
(0,infty)

Resposta

(0,infty)

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