Exercício 4. Esboce e calcule o comprimento dos arcos nos intervalos correspondentes.
y=x e^-x, 0 <= x <= 2;

Passo 1

O enunciado pede que a gente esboce a curva
y = x e^-x, 0 <= x <= 2,
e calcule o comprimento do arco correspondente. O conteúdo é o cálculo de comprimento de arco de uma função explícita y=f(x), usando a fórmula
L = integrala^b raiz1 + l(f'(x)r)^2;dx

Passo 2

Vamos achar a derivada de f(x)=x e^-x aplicando regra do produto e da cadeia:
f'(x) = ddxl(xr),e^-x + x,ddxl(e^-xr) = e^-x + xl(-e^-xr) = e^-x(1 - x)

Passo 3

Substituindo na fórmula de comprimento de arco com a=0 e b=2, temos
L = integral0^2 raiz1 + l(e^-x(1 - x)r)^2;dx = integral0^2 raiz1 + (1 - x)^2e^-2x;dx

Passo 4

O integrando
raiz1 + (1 - x)^2e^-2x
não possui primitiva elementar simples. Por isso vamos aproximar numericamente, por exemplo usando o método de Simpson com n=4 subintervalos de largura h=0,5.

Passo 5

Calculando os valores
xi &= 0,;0,5,;1,;1,5,;2, fi &= raiz1+(1-xi)^2 e^-2xi approx 1,4142,;1,0440,;1,0000,;1,0062,;1,0091,
e aplicando Simpson:
L approx h3l(f0+4f1+2f2+4f3+f4r) approx 0,53(1,4142+4cdot1,0440+2cdot1,0000+4cdot1,0062+1,0091) approx 2,10

Passo 6

Esboço qualitativo da curva: ela parte de (0,0), cresce até um máximo em x=1 com y(1)=e^-1approx0,37, e depois decresce suavemente até l(2,2e^-2approx0,27r).

Resposta

O comprimento do arco de y=x e^-x em [0,2] é dado por
L = integral0^2 raiz1 + (1 - x)^2e^-2x;dx approx 2,10
O esboço mostra um “ombro” que sobe de (0,0) a (1,e^-1) e depois cai até (2,2e^-2).

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