Exercício 4. Esboce e calcule o comprimento dos arcos nos intervalos correspondentes.
36 y^2=(x^2-4)^3, 2 <= x <= 3, y >= 0;

Passo 1

O enunciado dá a curva
36,y^2 = l(x^2-4r)^3, 2 <= x <= 3,;y>=0
e pede que a gente esboce o gráfico (isto é, a “meia-curva” superior que parte de (2,0)) e calcule o comprimento de arco usando a fórmula
L = integrala^braiz1+gl(dydxgr)^2;dx

Passo 2

Isolando y>=0:
y = raiz(x^2-4)^336 = (x^2-4)^3/26
Em x=2 temos y=0; em x=3 temos
y(3)=(9-4)^3/26=5^3/26=5raiz56
O esboço é uma curva que parte de (2,0), cresce suavemente e atinge (3,5raiz5/6).

Passo 3

Calculamos
dydx = 16cdotddxl(x^2-4r)^3/2 = 16cdot32(x^2-4)^1/2cdot2x = x,(x^2-4)^1/22
Logo
1+l(dydxr)^2 =1+x^2(x^2-4)4 =x^4-4x^2+44 =(x^2-2)^24,
e portanto
raiz1+l(y'r)^2 =x^2-22, xin[2,3]

Passo 4

O comprimento de arco é
L =integral2^3x^2-22,dx =12l[integral2^3x^2,dx-2integral2^3dxr] =12l[x^33|2^3-2(x|2^3)r] =12l[27-83-2(1)r] =136

Resposta

O comprimento do arco da curva dada, para 2<= x<=3, é
L = 136

Exercícios relacionados