Calcule o rotacional e o divergente para os seguintes campos vetoriais:
\vec{F}(x, y)=-\frac{y}{x} \widehat{i}+\frac{x}{y} \widehat{j}

Passo 1

O enunciado pede para calcular o divergente e o rotacional do campo vetorial
\vec{F}(x,y) = -\frac{y}{x}\,\hat{\imath} \;+\;\frac{x}{y}\,\hat{\jmath}.
Isso envolve derivadas parciais: para o divergente usamos
\div \vec{F} = \frac{\partial F_x}{\partial x} + \frac{\partial F_y}{\partial y},
e para o rotacional em 2D (pensando em \vec F=(F_x,F_y,0)) usamos só a componente z:
(\nabla\times\vec F)_z = \frac{\partial F_y}{\partial x} - \frac{\partial F_x}{\partial y}.

Passo 2

Identificamos as componentes e calculamos suas derivadas parciais:
F_x = -\frac{y}{x}, \quad F_y = \frac{x}{y}.
Então
\frac{\partial F_x}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}\Bigl(-y\,x^{-1}\Bigr) = -y\cdot(-1)\,x^{-2} = \frac{y}{x^{2}},
\frac{\partial F_y}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}\Bigl(x\,y^{-1}\Bigr) = x\cdot(-1)\,y^{-2} = -\frac{x}{y^{2}},
\frac{\partial F_y}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}\Bigl(x\,y^{-1}\Bigr) = \frac{1}{y},
\frac{\partial F_x}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}\Bigl(-y\,x^{-1}\Bigr) = -\frac{1}{x}.

Passo 3

Agora montamos o divergente:
\div \vec{F} = \frac{\partial F_x}{\partial x} + \frac{\partial F_y}{\partial y} = \frac{y}{x^{2}} \;-\;\frac{x}{y^{2}}.

Passo 4

E o rotacional (componente z) fica
(\nabla\times\vec F)_z = \frac{\partial F_y}{\partial x} - \frac{\partial F_x}{\partial y} = \frac{1}{y} - \Bigl(-\frac{1}{x}\Bigr) = \frac{1}{y} + \frac{1}{x}.
Como em 2D só existe essa componente não-nula, podemos escrever
\nabla\times\vec F = \Bigl(0,\,0,\,\frac{1}{x} + \frac{1}{y}\Bigr).

Resposta

Divergente:
\div \vec{F} = \frac{y}{x^{2}} - \frac{x}{y^{2}}.
Rotacional:
\nabla\times \vec{F} = \Bigl(0,\,0,\,\frac{1}{x} + \frac{1}{y}\Bigr).

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