Verifique que o campo vetorial dado é conservativo e encontre a sua função potencial associada, para:
\vec{F}(x, y, z)=(2 x \operatorname{Cos}(y)-3) \hat{i}-\left(x^{2} \operatorname{Sen}(y)+z^{2}\right) \hat{j}-(2 y z-2) \hat{k}

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos que o campo
\vec{F}(x,y,z) = \bigl(2x\cos y - 3\bigr)\,\hat\imath \;-\;\bigl(x^{2}\sin y + z^{2}\bigr)\,\hat\jmath\;-\;(2yz - 2)\,\hat k
é conservativo e, em seguida, encontrar a função potencial \varphi(x,y,z) tal que \nabla\varphi = \vec F. Vamos usar o critério do rotacional nulo em \mathbb R^3 (domínio simplesmente conexo) e depois integrar componente a componente.

Passo 2

Calculamos o rotacional \nabla\times\vec F. Denotando \displaystyle P=2x\cos y-3,\quad Q=-x^{2}\sin y - z^{2},\quad R=-2yz+2,
temos
(\nabla\times\vec F)_x = \frac{\partial R}{\partial y} - \frac{\partial Q}{\partial z} = (-2z) - (-2z) = 0,
(\nabla\times\vec F)_y = \frac{\partial P}{\partial z} - \frac{\partial R}{\partial x} = 0 - 0 = 0,
(\nabla\times\vec F)_z = \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} = (-2x\sin y) - (-2x\sin y) = 0.
Logo \nabla\times\vec F=\mathbf0, e o campo é conservativo.

Passo 3

Procuramos \varphi tal que
\frac{\partial \varphi}{\partial x} = P = 2x\cos y - 3.
Integramos em x:
\varphi(x,y,z) = \int (2x\cos y - 3)\,dx = x^2\cos y - 3x + C(y,z).

Passo 4

Agora impomos
\frac{\partial \varphi}{\partial y} = -x^2\sin y + \frac{\partial C}{\partial y} \stackrel!= Q = -x^2\sin y - z^2.
Daí
\frac{\partial C}{\partial y} = -\,z^2 \quad\Longrightarrow\quad C(y,z) = -\,y\,z^2 + D(z).
Assim
\varphi(x,y,z) = x^2\cos y -3x -y\,z^2 + D(z).

Passo 5

Por fim, impomos
\frac{\partial \varphi}{\partial z} = -2yz + D'(z) \stackrel!= R = -2yz + 2.
Logo D'(z)=2, e integrando D(z)=2z + \text{constante}.

Resposta

Uma função potencial válida é
\boxed{ \varphi(x,y,z) = x^2\cos y \;-\;3x \;-\;y\,z^2 \;+\;2z }
mais uma constante arbitrária, que pode ser tomada igual a zero.

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