Verifique que o campo vetorial dado é conservativo e encontre a sua função potencial associada, para:
\vec{F}(x, y, z)=\left(z e^{x}+e^{y}\right) \hat{i}+\left(x e^{y}-e^{z}\right) \hat{j}+\left(e^{x}-y e^{z}\right) \hat{k}

Passo 1

O enunciado dá o campo vetorial em \mathbb{R}^3 \vec{F}(x,y,z)=\bigl(P,Q,R\bigr) =\bigl(z e^{x}+e^{y},\;x e^{y}-e^{z},\;e^{x}-y e^{z}\bigr)
e pede para verificar que ele é conservativo e encontrar uma função potencial \varphi tal que \nabla\varphi=\vec{F}. Vamos usar duas ideias principais: (1) em domínio simplesmente conectado, \vec{F} é conservativo se e somente se \nabla\times\vec{F}=0; (2) uma vez confirmada essa condição, obtemos \varphi integrando as componentes de \vec{F} e ajustando funções de integração.

Passo 2

Calcular o rotacional de \vec{F}. Recorde que
\nabla\times\vec{F} =\Bigl(\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z},\; \frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x},\; \frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\Bigr).
  • \displaystyle\frac{\partial R}{\partial y} =\frac{\partial}{\partial y}\bigl(e^{x}-y e^{z}\bigr)=-e^{z},\quad
    \displaystyle\frac{\partial Q}{\partial z} =\frac{\partial}{\partial z}\bigl(x e^{y}-e^{z}\bigr)=-e^{z}.
    Logo a primeira componente é -e^{z}-(-e^{z})=0.
  • \displaystyle\frac{\partial P}{\partial z} =\frac{\partial}{\partial z}\bigl(z e^{x}+e^{y}\bigr)=e^{x},\quad
    \displaystyle\frac{\partial R}{\partial x} =\frac{\partial}{\partial x}\bigl(e^{x}-y e^{z}\bigr)=e^{x}.
    A segunda componente é e^{x}-e^{x}=0.
  • \displaystyle\frac{\partial Q}{\partial x} =\frac{\partial}{\partial x}\bigl(x e^{y}-e^{z}\bigr)=e^{y},\quad
    \displaystyle\frac{\partial P}{\partial y} =\frac{\partial}{\partial y}\bigl(z e^{x}+e^{y}\bigr)=e^{y}.
    A terceira componente é e^{y}-e^{y}=0.
Portanto \nabla\times\vec{F}=\vec{0}, e como o domínio é todo \mathbb{R}^3 (simplesmente conectado), \vec{F} é conservativo.

Passo 3

Agora buscamos \varphi(x,y,z) satisfazendo
\frac{\partial \varphi}{\partial x}=P=z e^{x}+e^{y}.
Integramos em x:
\varphi(x,y,z) =\int\bigl(z e^{x}+e^{y}\bigr)\,dx =z e^{x}+x e^{y}+h(y,z),
onde h(y,z) é uma “constante” de integração que pode depender de y e z.

Passo 4

Impor a condição
\frac{\partial \varphi}{\partial y} =Q=x e^{y}-e^{z}.
Por um lado,
\frac{\partial}{\partial y}\bigl(z e^{x}+x e^{y}+h(y,z)\bigr) =x e^{y}+\frac{\partial h}{\partial y}.
Igualando a Q temos
x e^{y}+\frac{\partial h}{\partial y} =x e^{y}-e^{z} \;\Longrightarrow\; \frac{\partial h}{\partial y}=-e^{z}.
Integrando em y:
h(y,z)=-y e^{z}+g(z),
com g(z) função só de z.

Passo 5

Finalmente, usar
\frac{\partial \varphi}{\partial z}=R=e^{x}-y e^{z}.
Com
\varphi(x,y,z)=z e^{x}+x e^{y}-y e^{z}+g(z),
calculamos
\frac{\partial \varphi}{\partial z} =e^{x}-y e^{z}+g'(z)
e igualamos a R:
e^{x}-y e^{z}+g'(z) =e^{x}-y e^{z} \;\Longrightarrow\; g'(z)=0 \;\Longrightarrow\; g(z)=C.
Podemos escolher C=0 sem perder generalidade.

Resposta

A verificação do rotacional mostra que \vec{F} é conservativo e uma função potencial é
\varphi(x,y,z) =z e^{x}+x e^{y}-y e^{z}+C.

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