Verifique que o campo vetorial dado é conservativo e encontre a sua função potencial associada, para:
Passo 1
O enunciado dá o campo vetorial em
e pede para verificar que ele é conservativo e encontrar uma função potencial
tal que
. Vamos usar duas ideias principais: (1) em domínio simplesmente conectado,
é conservativo se e somente se
; (2) uma vez confirmada essa condição, obtemos
integrando as componentes de
e ajustando funções de integração.
Passo 2
Calcular o rotacional de
. Recorde que
-
,\quad
.
Logo a primeira componente é. -
,\quad
.
A segunda componente é. -
,\quad
.
A terceira componente é.
Portanto
, e como o domínio é todo
(simplesmente conectado),
é conservativo.
Passo 3
Agora buscamos
satisfazendo
Integramos em
:
onde
é uma “constante” de integração que pode depender de
e
.
Passo 4
Impor a condição
Por um lado,
Igualando a
temos
Integrando em
:
com
função só de
.
Passo 5
Finalmente, usar
Com
calculamos
e igualamos a
:
Podemos escolher
sem perder generalidade.
Resposta
A verificação do rotacional mostra que
é conservativo e uma função potencial é