Calcule o rotacional e o divergente para os seguintes campos vetoriais:
\vec{F}(x, y)=\frac{x}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} \widehat{i}+\frac{y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} \widehat{j}

Passo 1

O enunciado dá o campo vetorial
\vec F(x,y)=\frac{x}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}\,\hat\imath +\frac{y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}\,\hat\jmath
em \mathbb R^2\setminus\{(0,0)\} e pede para calcular o divergente \nabla\!\cdot\!\vec F e o rotacional \nabla\times\vec F. Para isso vamos usar derivadas parciais e a regra do quociente (ou cadeia) para \sqrt{x^2+y^2}.

Passo 2

Calcular o divergente \nabla\!\cdot\!\vec F=\frac{\partial F_{1}}{\partial x}+\frac{\partial F_{2}}{\partial y}.
Defina r=\sqrt{x^2+y^2}. Então
F_{1}=\frac{x}{r},\quad F_{2}=\frac{y}{r}.
Pela regra do quociente,
\frac{\partial}{\partial x}\Bigl(\frac{x}{r}\Bigr) =\frac{1\cdot r - x\cdot(\partial r/\partial x)}{r^2} =\frac{r - x\,(x/r)}{r^2} =\frac{r^2 - x^2}{r^3} =\frac{y^2}{r^3},
\frac{\partial}{\partial y}\Bigl(\frac{y}{r}\Bigr) =\frac{r - y\,(y/r)}{r^2} =\frac{r^2 - y^2}{r^3} =\frac{x^2}{r^3}.
Somando,
\nabla\!\cdot\!\vec F =\frac{y^2}{r^3}+\frac{x^2}{r^3} =\frac{x^2+y^2}{r^3} =\frac{r^2}{r^3} =\frac{1}{r} =\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}}.

Passo 3

Calcular o rotacional em 2D \bigl(\nabla\times\vec F\bigr)_z =\frac{\partial F_{2}}{\partial x}-\frac{\partial F_{1}}{\partial y}.
Já temos
\frac{\partial F_{2}}{\partial x} =\frac{\partial}{\partial x}\Bigl(\frac{y}{r}\Bigr) =-\frac{x\,y}{r^3}, \quad \frac{\partial F_{1}}{\partial y} =\frac{\partial}{\partial y}\Bigl(\frac{x}{r}\Bigr) =-\frac{x\,y}{r^3}.
Logo,
\bigl(\nabla\times\vec F\bigr)_z =-\frac{x\,y}{r^3}-\Bigl(-\frac{x\,y}{r^3}\Bigr) =0.

Resposta

O divergente é
\nabla\!\cdot\!\vec F=\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}},
e o rotacional (componente em z) é
\bigl(\nabla\times\vec F\bigr)_z=0.

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