Verifique se os seguintes campos são conservativos e, em caso afirmativo, calcule o potencial:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para verificar se o campo vetorial
é conservativo. Se for, precisamos encontrar a função potencial. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente sobre campos conservativos e funções potenciais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa um campo vetorial ser conservativo. Um campo é conservativo se existe uma função escalar
tal que
, onde
é o gradiente de
. Isso implica que as componentes de
são as derivadas parciais de
.
Passo 3
Para verificar se
é conservativo, precisamos checar se as derivadas parciais cruzadas são iguais. Ou seja, se
. Vamos calcular:
-
, então -
, então
Como
, as derivadas são iguais. Isso indica que o campo é conservativo.
Passo 4
Agora que sabemos que o campo é conservativo, vamos encontrar a função potencial
. Sabemos que:
Integrando
em relação a
:
Aqui,
é uma função arbitrária que depende apenas de
.
Passo 5
Para determinar
, vamos usar a segunda componente do gradiente:
Calculando a derivada de
que encontramos:
Igualando às duas expressões:
Simplificando:
Integrando
em relação a
:
Onde
é a constante de integração.
Passo 6
Agora, substituímos
na expressão de
:
Podemos ignorar a constante
se quisermos uma função potencial específica.
Resposta
O campo vetorial
é conservativo, e uma função potencial para ele é: