Verifique se os seguintes campos são conservativos e, em caso afirmativo, calcule o potencial: F(x, y)=(e^y, x e^y+y)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para verificar se o campo vetorial F(x, y) = (e^y,, x e^y + y) é conservativo. Se for, precisamos encontrar a função potencial. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente sobre campos conservativos e funções potenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa um campo vetorial ser conservativo. Um campo é conservativo se existe uma função escalar phi(x, y) tal que F = nabla phi , onde nabla phi é o gradiente de phi . Isso implica que as componentes de F são as derivadas parciais de phi .

Passo 3

Para verificar se F é conservativo, precisamos checar se as derivadas parciais cruzadas são iguais. Ou seja, se partial F1partial y = partial F2partial x . Vamos calcular:
  • F1 = e^y , então partial F1partial y = e^y
  • F2 = x e^y + y , então partial F2partial x = e^y
Como e^y = e^y , as derivadas são iguais. Isso indica que o campo é conservativo.

Passo 4

Agora que sabemos que o campo é conservativo, vamos encontrar a função potencial phi(x, y) . Sabemos que:
partial phipartial x = F1 = e^y
Integrando F1 em relação a x :
phi(x, y) = integral e^y , dx = e^y x + h(y)
Aqui, h(y) é uma função arbitrária que depende apenas de y .

Passo 5

Para determinar h(y) , vamos usar a segunda componente do gradiente:
partial phipartial y = F2 = x e^y + y
Calculando a derivada de phi(x, y) que encontramos:
partial phipartial y = e^y x + h'(y)
Igualando às duas expressões:
e^y x + h'(y) = x e^y + y
Simplificando:
h'(y) = y
Integrando h'(y) em relação a y :
h(y) = y^22 + C
Onde C é a constante de integração.

Passo 6

Agora, substituímos h(y) na expressão de phi(x, y) :
phi(x, y) = e^y x + y^22 + C
Podemos ignorar a constante C se quisermos uma função potencial específica.

Resposta

O campo vetorial F(x, y) = (e^y,, x e^y + y) é conservativo, e uma função potencial para ele é:
phi(x, y) = e^y x + y^22 + C

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