Calcule o rotacional dos seguintes campos vetoriais:
(23.1) F(x, y, z)=(3 z^2, 3 x^2, 3 y^2)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular o rotacional de um campo vetorial específico: F(x, y, z) = (3 z^2, 3 x^2, 3 y^2). O rotacional é uma operação da matemática vetorial que nos dá uma ideia de como o campo está “girando” em cada ponto. Para resolver isso, vamos precisar lembrar a fórmula do rotacional e como aplicá-la aos componentes do campo vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula do rotacional para um campo vetorial F = (Fx, Fy, Fz). O rotacional é dado por:
nabla times F = ( partial Fzpartial y - partial Fypartial z, partial Fxpartial z - partial Fzpartial x, partial Fypartial x - partial Fxpartial y )
Isso significa que vamos calcular as derivadas parciais de cada componente do campo vetorial conforme indicado.

Passo 3

Vamos identificar as componentes do nosso campo vetorial:
  • Fx = 3 z^2
  • Fy = 3 x^2
  • Fz = 3 y^2
Agora, vamos calcular as derivadas parciais necessárias para cada componente do rotacional.

Passo 4

Primeiro, calculamos partial Fzpartial y e partial Fypartial z:
  • partial Fzpartial y = partialpartial y(3 y^2) = 6 y
  • partial Fypartial z = partialpartial z(3 x^2) = 0
A primeira componente do rotacional é então 6 y - 0 = 6 y.

Passo 5

Agora, calculamos partial Fxpartial z e partial Fzpartial x:
  • partial Fxpartial z = partialpartial z(3 z^2) = 6 z
  • partial Fzpartial x = partialpartial x(3 y^2) = 0
A segunda componente do rotacional é 6 z - 0 = 6 z.

Passo 6

Por fim, calculamos partial Fypartial x e partial Fxpartial y:
  • partial Fypartial x = partialpartial x(3 x^2) = 6 x
  • partial Fxpartial y = partialpartial y(3 z^2) = 0
A terceira componente do rotacional é 6 x - 0 = 6 x.

Resposta

Então, o rotacional do campo vetorial F é:
nabla times F = (6 y, 6 z, 6 x)

Exercícios relacionados