Calcule o rotacional dos seguintes campos vetoriais:
(23.1)
(23.1)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular o rotacional de um campo vetorial específico:
. O rotacional é uma operação da matemática vetorial que nos dá uma ideia de como o campo está “girando” em cada ponto. Para resolver isso, vamos precisar lembrar a fórmula do rotacional e como aplicá-la aos componentes do campo vetorial.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula do rotacional para um campo vetorial
. O rotacional é dado por:
Isso significa que vamos calcular as derivadas parciais de cada componente do campo vetorial conforme indicado.
Passo 3
Vamos identificar as componentes do nosso campo vetorial:
Agora, vamos calcular as derivadas parciais necessárias para cada componente do rotacional.
Passo 4
Primeiro, calculamos
e
:
A primeira componente do rotacional é então
.
Passo 5
Agora, calculamos
e
:
A segunda componente do rotacional é
.
Passo 6
Por fim, calculamos
e
:
A terceira componente do rotacional é
.
Resposta
Então, o rotacional do campo vetorial
é: