Verifique se os seguintes campos são conservativos e, em caso afirmativo, calcule o potencial:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa verificar se o campo vetorial
é conservativo. Se for, também vamos encontrar a função potencial correspondente. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente sobre campos conservativos e rotacionais.
Passo 2
Primeiro, o que é um campo conservativo? Um campo vetorial é conservativo se existir uma função escalar
tal que
. Isso significa que
é o gradiente de alguma função potencial
. Uma das características principais dos campos conservativos é que seu rotacional é zero, ou seja,
.
Passo 3
Vamos calcular o rotacional de
. O rotacional de um campo vetorial
é dado por:
Vamos calcular cada componente:
- Primeira componente:
Então,
- Segunda componente:
Então,
- Terceira componente:
Então,
Passo 4
Como todas as componentes do rotacional de
são zero, ou seja,
, podemos concluir que o campo
é conservativo.
Passo 5
Agora que sabemos que
é conservativo, vamos encontrar a função potencial
tal que
. Isso significa que:
Vamos integrar cada uma dessas equações para encontrar
.
- Integrando em relação a
:
Aqui,
é uma função que não depende de
.
- Usando a segunda equação:
Isso implica que
, ou seja,
não depende de
. Então,
.
- Usando a terceira equação:
Isso leva a:
Onde
é uma constante.
Resposta
O campo
é conservativo e a função potencial associada é: