Verifique se os seguintes campos são conservativos e, em caso afirmativo, calcule o potencial: F(x, y, z)=(y z e^x y, x z e^x y, e^x y+cos (z))

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa verificar se o campo vetorial F(x, y, z) = (y z e^x y,, x z e^x y,, e^x y + cos(z)) é conservativo. Se for, também vamos encontrar a função potencial correspondente. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente sobre campos conservativos e rotacionais.

Passo 2

Primeiro, o que é um campo conservativo? Um campo vetorial é conservativo se existir uma função escalar phi(x, y, z) tal que F = nabla phi. Isso significa que F é o gradiente de alguma função potencial phi. Uma das características principais dos campos conservativos é que seu rotacional é zero, ou seja, nabla times F = 0.

Passo 3

Vamos calcular o rotacional de F. O rotacional de um campo vetorial F = (Fx, Fy, Fz) é dado por:
nabla times F = ( partial Fzpartial y - partial Fypartial z,, partial Fxpartial z - partial Fzpartial x,, partial Fypartial x - partial Fxpartial y )
Vamos calcular cada componente:
  1. Primeira componente:
partial Fzpartial y = partialpartial y ( e^x y + cos(z) ) = x e^x y
partial Fypartial z = partialpartial z ( x z e^x y ) = x e^x y
Então,
partial Fzpartial y - partial Fypartial z = x e^x y - x e^x y = 0
  1. Segunda componente:
partial Fxpartial z = partialpartial z ( y z e^x y ) = y e^x y
partial Fzpartial x = partialpartial x ( e^x y + cos(z) ) = y e^x y
Então,
partial Fxpartial z - partial Fzpartial x = y e^x y - y e^x y = 0
  1. Terceira componente:
partial Fypartial x = partialpartial x ( x z e^x y ) = z e^x y + x z y e^x y
partial Fxpartial y = partialpartial y ( y z e^x y ) = z e^x y + y z x e^x y
Então,
partial Fypartial x - partial Fxpartial y = (z e^x y + x y z e^x y) - (z e^x y + x y z e^x y) = 0

Passo 4

Como todas as componentes do rotacional de F são zero, ou seja, nabla times F = 0, podemos concluir que o campo F é conservativo.

Passo 5

Agora que sabemos que F é conservativo, vamos encontrar a função potencial phi(x, y, z) tal que F = nabla phi. Isso significa que:
partial phipartial x = y z e^x y, partial phipartial y = x z e^x y, partial phipartial z = e^x y + cos(z)
Vamos integrar cada uma dessas equações para encontrar phi.
  1. Integrando em relação a x:
phi(x, y, z) = integral y z e^x y , dx = z e^x y + g(y, z)
Aqui, g(y, z) é uma função que não depende de x.
  1. Usando a segunda equação:
partial phipartial y = partialpartial y ( z e^x y + g(y, z) ) = x z e^x y + partial gpartial y = x z e^x y
Isso implica que partial gpartial y = 0, ou seja, g não depende de y. Então, g(y, z) = h(z).
  1. Usando a terceira equação:
partial phipartial z = partialpartial z ( z e^x y + h(z) ) = e^x y + d hd z = e^x y + cos(z)
Isso leva a:
d hd z = cos(z) implies h(z) = sin(z) + C
Onde C é uma constante.

Resposta

O campo F é conservativo e a função potencial associada é:
phi(x, y, z) = z e^x y + sin(z) + C

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