Esboce a região de integração e inverta a ordem nas seguintes integrais: integral0^1 integral2 x^3 x f(x, y) d y d x

Passo 1

O enunciado pede para esboçar a região de integração e inverter a ordem de integração da integral integral0^1integral2x^3xf(x,y),dy,dx. Conteúdo: integrais duplas e troca da ordem de integração.

Passo 2

Esboçamos a região
D=(x,y)mid 0<= x<=1,;2x<= y<=3x
No plano xy, traçamos as retas ,y=2x e ,y=3x, o eixo x=0 e a reta vertical x=1. A região fica entre y=2x e y=3x para x variando de 0 a 1.

Passo 3

Para trocar a ordem, projetamos D sobre o eixo y. Os valores de y em D variam de ymin=0 até ymax=3. Em cada y fixo, x deve satisfazer simultaneamente
x<= tfracy2,;x>= tfracy3 e 0<= x<=1.

Passo 4

Note que tfracy2<=1 quando y<=2 e tfracy2>1 quando y>2. Logo,
para 0<= y<=2 os limites de x vão de tfracy3 até tfracy2,
e para 2<= y<=3 vão de tfracy3 até 1.

Passo 5

Assim, invertendo a ordem de integração,
integral0^1integral2x^3xf(x,y),dy,dx =integral0^2integraly/3^y/2f(x,y),dx,dy +integral2^3integraly/3^1f(x,y),dx,dy

Resposta

integral0^1integral2x^3xf(x,y),dy,dx =integral0^2integraly/3^y/2f(x,y),dx,dy +integral2^3integraly/3^1f(x,y),dx,dy

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