Calcule o rotF para determinar se os seguintes campos são conservativos ou não:

Passo 1

O enunciado pede para calcular o rotacional de
F(x,y,z)=(3+2xy),i + (x^2+3y^2),j + 0,k e, com isso, verificar se o campo é conservativo. Vamos usar a definição de rotacional e as derivadas parciais.

Passo 2

Para um campo F=(P,Q,R), o rotacional é dado por
nabla times F = l(partialy R - partialz Q,nablax R - partialz P,partialx Q - partialy Pr). Aqui temos
P=3+2xy, Q=x^2+3y^2, R=0.

Passo 3

Calculando as derivadas:
partialy R=0,partialz Q=0,partialx R=0,partialz P=0,partialx Q=2x,partialy P=2x.
Logo o rotacional é
nabla times F =(0-0,,0-0,,2x-2x)=(0,0,0).

Passo 4

Como o rotacional é o vetor nulo em todo R^3 (domínio simplesmente conectado), concluímos que F é conservativo.

Resposta

nabla times F=(0,0,0), portanto F é conservativo.

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