Calcule o rotF para determinar se os seguintes campos são conservativos ou não:
F(x, y, z)=2 x^2 y i+5 x z j+x^2 y^2 k

Passo 1

Temos o campo vetorial F(x,y,z)=2x^2y,i+5xz,j+x^2y^2,k. O conteúdo aqui é cálculo vetorial: para ver se F é conservativo num domínio simplesmente conexo em R^3, basta calcular o rotacional nablatimesF e checar se ele é o vetor nulo.

Passo 2

O rotacional de um campo F=(Fi,Fj,Fk) é definido por
nablatimesF=l(partial Fkpartial y-partial Fjpartial zr)i+l(partial Fipartial z-partial Fkpartial xr)j+l(partial Fjpartial x-partial Fipartial yr)k
Vou calcular cada componente.

Passo 3

Para a componente i precisamos de
partial Fkpartial y=partial(x^2y^2)partial y=2x^2y, partial Fjpartial z=partial(5xz)partial z=5x
Então o termo em i fica 2x^2y-5x.

Passo 4

Para a componente j calculamos
partial Fipartial z=partial(2x^2y)partial z=0, partial Fkpartial x=partial(x^2y^2)partial x=2xy^2
Logo o termo em j é 0-2xy^2=-2xy^2.

Passo 5

Para a componente k temos
partial Fjpartial x=partial(5xz)partial x=5z, partial Fipartial y=partial(2x^2y)partial y=2x^2
Logo o termo em k é 5z-2x^2.

Passo 6

Reunindo tudo obtemos
nablatimesF=(2x^2y-5x),i-2xy^2,j+(5z-2x^2),k
Como esse vetor não é o vetor nulo para valores gerais de x,y,z, concluímos que F não é um campo conservativo.

Resposta

nablatimesF=(2x^2y-5x),i-2xy^2,j+(5z-2x^2),k. Como não é o vetor nulo, o campo não é conservativo.

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