Faça o gráfico da função f(x)=1 / x^2 e identique para quais valores de x a função f(x) é crescente, e para quais valores f(x) é decrescente.

Passo 1

O enunciado pede para desenhar o gráfico da função f(x)=1x^2 e identificar em quais intervalos ela é crescente ou decrescente. O conteúdo envolve função real de variável real, análise de domínio, esboço de gráfico e determinação de monotonicidade via derivada.

Passo 2

Primeiro, vamos determinar o domínio de f e esboçar seu comportamento geral. Como f(x)=1x^2, o denominador nunca pode ser zero, então o domínio é Rsetminus0. Observamos também que f(x)>0 para todo xneq0, que f(x)to+infty quando xto0^+ ou xto0^-, e que f(x)to0^+ quando xtopminfty. Esse comportamento caracteriza uma hipérbole simétrica em relação ao eixo y.

Passo 3

Agora, vamos usar derivadas para estudar monotonicidade. Aplicamos a regra da potência:
f'(x)=ddxl(x^-2r)=-2x^-3=-2x^3

Passo 4

Para determinar onde f é crescente ou decrescente, analisamos o sinal de f'(x)=-2/x^3: para x>0, temos x^3>0 e, portanto, f'(x)<0, indicando decrescimento em (0,,+infty). Para x<0, temos x^3<0 e, portanto, f'(x)>0, indicando crescimento em ( -infty,,0).

Passo 5

Com base nisso, podemos esboçar o gráfico: em ambos os ramos ( x<0 e x>0), a curva tende a infinito quando x se aproxima de zero e tende a zero quando x cresce em módulo. Além disso, é crescente em ( -infty,,0) e decrescente em (0,,+infty).

Resposta

A função é crescente em ( -infty,,0) e decrescente em (0,,+infty).

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