Faça o gráfico da função
e identique para quais valores de
a função
é crescente, e para quais valores
é decrescente.
Passo 1
O enunciado pede para desenhar o gráfico da função
e identificar em quais intervalos ela é crescente ou decrescente. O conteúdo envolve função real de variável real, análise de domínio, esboço de gráfico e determinação de monotonicidade via derivada.
Passo 2
Primeiro, vamos determinar o domínio de
e esboçar seu comportamento geral. Como
, o denominador nunca pode ser zero, então o domínio é
. Observamos também que
para todo
, que
quando
ou
, e que
quando
. Esse comportamento caracteriza uma hipérbole simétrica em relação ao eixo
.
Passo 3
Agora, vamos usar derivadas para estudar monotonicidade. Aplicamos a regra da potência:
Passo 4
Para determinar onde
é crescente ou decrescente, analisamos o sinal de
: para
, temos
e, portanto,
, indicando decrescimento em
. Para
, temos
e, portanto,
, indicando crescimento em
.
Passo 5
Com base nisso, podemos esboçar o gráfico: em ambos os ramos (
e
), a curva tende a infinito quando
se aproxima de zero e tende a zero quando
cresce em módulo. Além disso, é crescente em
e decrescente em
.
Resposta
A função é crescente em
e decrescente em
.