Calcule o(s) valor(es) de a tal que a matriz abaixo seja não invertível:
A=[cccc 1 & -1 & 1 & -1 1 & a & 1 & 2 1 & 2 & a & 3 1 & 2 & 1 & a ]

Passo 1

A condição para a matriz A ser não invertível é
det(A)=0
Para isso, vamos calcular det(A) usando operações elementares e expansão de Laplace.

Passo 2

Começamos subtraindo a primeira linha das linhas 2, 3 e 4, o que não altera o valor do determinante. Ficamos com
1 & -1 & 1 & -1 0 & a+1 & 0 & 3 0 & 3 & a-1 & 4 0 & 3 & 0 & a+1

Passo 3

Agora expandimos o determinante ao longo da primeira coluna. Como só o elemento da primeira linha é não nulo, temos
det(A) =1cdot det! a+1 & 0 & 3 3 & a-1 & 4 3 & 0 & a+1
Denotemos esse menor de ordem 3 por B.

Passo 4

Calculamos
det(B) =(a+1)det!a-1&40&a+1 +3det!3&a-13&0
Isso dá
det(B) =(a+1)l((a-1)(a+1)-0r) +3l(3cdot0-3(a-1)r) =(a+1)^2(a-1)-9(a-1)

Passo 5

Fatorando,
det(B) =(a-1)l((a+1)^2-9r) =(a-1)(a-2)(a+4)
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det(A)=det(B)=(a-1)(a-2)(a+4)

Resposta

A matriz A é não invertível exatamente para
a=1, a=2, a=-4

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