Determine a dimensão do subespaço W gerado pelo vetores u=[l2 1 2],
v=[c -1 0 -1 ] e w=[l 1 1 1 ]

Passo 1

O enunciado nos dá três vetores em R^3, a saber u=(2,1,2), v=(-1,0,-1) e w=(1,1,1), e pede a dimensão do subespaço W=spanu,v,w. O conteúdo aqui é independência linear e dimensão de subespaço gerado.

Passo 2

Por definição, a dimensão de W é o número máximo de vetores linearmente independentes entre u,v,w. Precisamos, então, verificar quais desses vetores são independentes.

Passo 3

Verificamos primeiro se
o que é impossível. Logo, são linearmente independentes.

Passo 4

Agora mostramos que v é combinação de u e w. Buscamos alpha,beta tais que
alpha,u+beta,w=v,
isto é,
alpha,(2,1,2)+beta,(1,1,1)=(-1,0,-1)
Do segundo componente vem alpha+beta=0, ou seja beta=-alpha. Do primeiro componente,
2alpha+beta=-1implies 2alpha-alpha=-1implies alpha=-1, beta=1
Assim v=-1,u+1,w, logo v é dependente de u e w.

Passo 5

Concluímos que há exatamente dois vetores independentes ( u e w) gerando W. Portanto, dim W=2.

Resposta

dim(W)=2.

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