P(x)=x^4-4 x^3-x^2+16 x-12 são 2,3, m e n. O valor de m^2+n^2 é
a) 0
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5

Passo 1

O enunciado nos dá o polinômio monico
P(x)=x^4-4x^3-x^2+16x-12
cujo conjunto de raízes é 2,3,m,n. O conteúdo aqui são as fórmulas de Viète, que relacionam soma e produtos das raízes aos coeficientes do polinômio.

Passo 2

Pela fórmula de Viète, a soma das raízes de um polinômio monico
x^4+a3x^3+cdots
é sum ri=-a3. No nosso caso a3=-4, logo
2+3+m+n=4
Como 2+3=5, segue
5+(m+n)=4 Longrightarrow m+n=-1

Passo 3

Também pela fórmula de Viète, a soma dos produtos tomados dois a dois vale sumi<jrirj=a2. Aqui a2=-1. Mas
sumi<jrirj =2cdot3+2m+2n+3m+3n+mn =6+5(m+n)+mn
Substituindo m+n=-1 obtemos
6+5(-1)+mn=1+mn=-1 Longrightarrow mn=-2

Passo 4

Para calcular m^2+n^2 usamos
(m+n)^2=m^2+2mn+n^2 ;Longrightarrow; m^2+n^2=(m+n)^2-2mn
Substituindo m+n=-1 e mn=-2
m^2+n^2=(-1)^2-2(-2)=1+4=5

Resposta

(e)

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