Calcule cos x, sabendo que cotg x=2 raizmm-1, com m>1 e x in[pi2, pi]

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular cos x sabendo que cotg x = 2 raizmm-1, onde m > 1 e x está no intervalo [pi2, pi]. Isso envolve trigonometria, especialmente as relações entre as funções trigonométricas básicas. Vamos usar um triângulo retângulo para facilitar a visualização e os cálculos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a cotangente de um ângulo é a relação entre o cateto adjacente e o cateto oposto. Ou seja:
cot x = adjacenteoposto
Dado que cot x = 2 raizmm-1, podemos atribuir valores aos lados do triângulo:
  • Cateto adjacente: 2 raizm
  • Cateto oposto: m - 1

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a hipotenusa do triângulo para poder calcular o cosseno. Usamos o Teorema de Pitágoras, que diz:
hipotenusa = raiz(adjacente)^2 + (oposto)^2
Substituindo os valores:
hipotenusa = raiz(2 raizm)^2 + (m - 1)^2 = raiz4m + (m^2 - 2m + 1) = raizm^2 + 2m + 1
Simplificando:
hipotenusa = raiz(m + 1)^2 = m + 1

Passo 4

Agora que temos todos os lados, podemos calcular o cosseno de x. Lembrando que:
cos x = adjacentehipotenusa
Substituindo os valores encontrados:
cos x = 2 raizmm + 1

Passo 5

Mas atenção! O ângulo x está no intervalo [pi2, pi], ou seja, no segundo quadrante onde o cosseno é negativo. Portanto, precisamos adicionar o sinal negativo na resposta final:
cos x = -2 raizmm + 1

Resposta

cos x = -2 raizmm + 1

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