O valor da integral
integral0^1 integralz^2 x integral0^y 2 x y z d z d y d x
é
Escolha uma opção:
0
-58
85
-85

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de integração múltipla! A questão pede para calcular a integral tripla:
integral0^1 integralz^2 x integral0^y 2 x y z , dz , dy , dx
Isso envolve cálculo de integrais em várias dimensões. Para resolver, vamos integrar passo a passo cada variável, começando por z , depois y e por último x .

Passo 2

Primeiro, vamos integrar com respeito a z . A expressão que vamos integrar é 2xyz , e os limites de z são de 0 a y .
A integral de 2xyz em relação a z é:
integral0^y 2xyz , dz = 2xy integral0^y z , dz

Passo 3

Agora, calculamos a integral de z de 0 a y :
integral0^y z , dz = [ z^22 ]0^y = y^22
Então, substituindo de volta:
2xy cdot y^22 = xy^3

Passo 4

Agora, temos que integrar xy^3 com respeito a y , com limites de y = z até y = 2x :
integralz^2x xy^3 , dy = x integralz^2x y^3 , dy

Passo 5

Calculamos a integral de y^3 de z a 2x :
integralz^2x y^3 , dy = [ y^44 ]z^2x = (2x)^44 - z^44 = 16x^44 - z^44 = 4x^4 - z^44
Então, multiplicando por x :
x ( 4x^4 - z^44 ) = 4x^5 - x z^44

Passo 6

Agora, precisamos integrar essa expressão com respeito a x , de 0 a 1:
integral0^1 ( 4x^5 - x z^44 ) , dx
Vamos integrar termo a termo:
  1. integral0^1 4x^5 , dx = 4 cdot x^66 |0^1 = 46 = 23
  2. integral0^1 x z^44 , dx = z^44 cdot x^22 |0^1 = z^44 cdot 12 = z^48
Então, a integral total é:
23 - z^48

Passo 7

Por último, integramos essa expressão com respeito a z , de 0 a y :
integral0^y ( 23 - z^48 ) , dz
Novamente, integremos termo a termo:
  1. integral0^y 23 , dz = 23 z |0^y = 23 y
  2. integral0^y z^48 , dz = 18 cdot z^55 |0^y = y^540
Então, a integral total é:
23 y - y^540

Resposta

A integral vale 23 y - y^540 . Comparando com as opções fornecidas, a resposta correta é 85 .

Exercícios relacionados