O valor da integral tripla
integral0^1 integral0^1-x integral0^1-x-y z d z d y d x
é
Escolha uma opção:
124
121
0
123
0
122

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular uma integral tripla bem legal:
integral0^1 integral0^1-x integral0^1-x-y z , dz , dy , dx
Esse problema está relacionado ao cálculo de integrais múltiplas, especificamente integrais triplas. Para resolver isso, vamos precisar integrar uma função z sobre uma região tridimensional delimitada por x , y e z que variam de 0 a 1, mas com a condição que a soma de x , y e z não passe de 1. Vamos resolver isso passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos integrar a função z em relação a z . Olha só:
integral0^1-x-y z , dz
Para integrar z em relação a z , a gente aumenta o expoente em 1 e divide pelo novo expoente:
z^22 gr|0^1-x-y = (1 - x - y)^22 - 0^22 = (1 - x - y)^22
Então, agora substituímos isso na integral:
integral0^1 integral0^1-x (1 - x - y)^22 , dy , dx

Passo 3

Agora, vamos integrar com relação a y :
integral0^1-x (1 - x - y)^22 , dy
Vamos fazer uma substituição para facilitar. Seja u = 1 - x - y , então du = -dy . Quando y = 0 , u = 1 - x . Quando y = 1 - x , u = 0 .
A integral fica:
12 integral1 - x^0 u^2 (-du) = 12 integral0^1 - x u^2 , du
Integrando u^2 :
12 cdot u^33 gr|0^1 - x = 16 (1 - x)^3
Então, substituímos de volta na integral:
integral0^1 (1 - x)^36 , dx

Passo 4

Agora, vamos integrar com relação a x :
16 integral0^1 (1 - x)^3 , dx
Vamos expandir (1 - x)^3 :
(1 - x)^3 = 1 - 3x + 3x^2 - x^3
Integrando termo a termo:
16 [ integral0^1 1 , dx - 3integral0^1 x , dx + 3integral0^1 x^2 , dx - integral0^1 x^3 , dx ]
Calculando cada integral:
integral0^1 1 , dx = 1
integral0^1 x , dx = 12
integral0^1 x^2 , dx = 13
integral0^1 x^3 , dx = 14
Substituindo de volta:
16 [ 1 - 3 cdot 12 + 3 cdot 13 - 14 ] = 16 [ 1 - 32 + 1 - 14 ] = 16 [ 44 - 64 + 44 - 14 ] = 16 cdot 14 = 124

Resposta

O valor da integral tripla é 124.

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