Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular uma integral tripla bem legal:
Esse problema está relacionado ao cálculo de integrais múltiplas, especificamente integrais triplas. Para resolver isso, vamos precisar integrar uma função sobre uma região tridimensional delimitada por , e que variam de 0 a 1, mas com a condição que a soma de , e não passe de 1. Vamos resolver isso passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos integrar a função em relação a . Olha só:
Para integrar em relação a , a gente aumenta o expoente em 1 e divide pelo novo expoente:
Então, agora substituímos isso na integral:
integral0^1 integral0^1-x (1 - x - y)^22 , dy , dx
Passo 3
Agora, vamos integrar com relação a y :
integral0^1-x (1 - x - y)^22 , dy
Vamos fazer uma substituição para facilitar. Seja u = 1 - x - y , então du = -dy . Quando y = 0 , u = 1 - x . Quando y = 1 - x , u = 0 .
A integral fica:
12 integral1 - x^0 u^2 (-du) = 12 integral0^1 - x u^2 , du