Questão 6.
Sabendo que
, onde
é uma constante real, é uma família a um parâmetro de
soluções da equação
, utilize o Teorema de Existência e Unicidade para encontrar a única solução do problema de valor inicial
em que
,
são dados abaixo. Em seguida determine o maior intervalo de definição desta solução e esboce a curva integral correspondente a ela no plano
.
a)
b)
c)
d)
soluções da equação
a)
b)
c)
d)
Passo 1
Então, vamos lá! Temos uma equação diferencial dada por $ y’(x) + 2x y^2 = 0 $ e uma família de soluções dessa equação: $ y(x) = \frac{1}{C + x^2} $, onde $ C $ é uma constante real. O que precisamos fazer é usar o Teorema de Existência e Unicidade para encontrar a solução única que passa por um ponto inicial específico, como nos casos a), b), c) e d) do problema. Vamos precisar entender como aplicar esse teorema e como determinar a constante $ C $ para cada caso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema de Existência e Unicidade. Esse teorema nos garante que, para uma equação diferencial da forma $ y’ = f(x, y) $, se a função $ f $ e sua derivada parcial em relação a $ y $ forem contínuas em um ponto inicial $ (x_0, y_0) $, então existe uma solução única que passa por esse ponto. No nosso caso, a equação pode ser rearranjada para $ y’ = -2x y^2 $, onde $ f(x, y) = -2x y^2 $. Como $ f $ é contínua em todos os pontos $ (x, y) $, o teorema se aplica, garantindo a existência e unicidade da solução para cada condição inicial dada.
Passo 3
Agora, vamos usar a família de soluções $ y(x) = \frac{1}{C + x^2} $ para encontrar a solução única que satisfaz a condição inicial $ y(x_0) = y_0 $. Basta substituir $ x_0 $ e $ y_0 $ na equação e resolver para $ C $. Isso nos dará a constante específica para cada caso.
Passo 4
Vamos resolver para o caso a) $ x_0 = 2 $, $ y_0 = \frac{1}{3} $.
Substituindo os valores na equação da família de soluções:
Agora, invertemos os dois lados para resolver para $ C + 4 $:
Então, a solução única para esse caso é:
Passo 5
Em seguida, determinamos o maior intervalo de definição dessa solução. Observamos que o denominador $ x^2 - 1 $ não pode ser zero, então $ x \neq \pm 1 $. Além disso, como a função é válida para todos os outros valores de $ x $, o maior intervalo de definição é:
Passo 6
Por fim, vamos esboçar a curva integral no plano $ xy $. A função $ y(x) = \frac{1}{x^2 - 1} $ possui assíntotas verticais em $ x = 1 $ e $ x = -1 $. Para $ |x| > 1 $, a função é positiva, e para $ |x| < 1 $, é negativa. O gráfico terá duas ramos separados, um para $ x > 1 $ e outro para $ x < -1 $, além de um ramo entre $ -1 < x < 1 $ onde a função é negativa.
Resposta
A solução única do problema de valor inicial para o caso a) $ x_{0} = 2 $, $ y_{0} = \frac{1}{3} $ é:
com o maior intervalo de definição sendo $ (-\infty, -1) \cup (-1, 1) \cup (1, +\infty) $.