Determine partial zpartial x e partial zpartial y :
e^z-x y z=0

Passo 1

O enunciado pede as derivadas parciais partial z/partial x e partial z/partial y de uma função implícita z=z(x,y) definida pela equação
e^z - x,y,z = 0
O conteúdo é derivação implícita e vamos aplicar a regra da cadeia e a regra do produto.

Passo 2

Diferenciando implicitamente em relação a x, mantemos y constante. A derivada de e^z é e^z,zx e a de x,y,z é y,z + x,y,zx. Assim,
e^z,zx - l(y,z + x,y,zxr) = 0

Passo 3

Agrupando os termos com zx temos
l(e^z - x,yr),zx = y,z
e, isolando,
zx = y,ze^z - x,y

Passo 4

Agora diferenciamos em relação a y, mantendo x constante. A derivada de e^z é e^z,zy e de x,y,z é x,z + x,y,zy. Logo,
e^z,zy - l(x,z + x,y,zyr) = 0

Passo 5

Agrupando os termos com zy obtemos
l(e^z - x,yr),zy = x,z
e, isolando,
zy = x,ze^z - x,y

Resposta

partial zpartial x = y,ze^z - x,y, partial zpartial y = x,ze^z - x,y

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