Calcule x e y, sabendo que (ll3 & x 5 & 2) e (cc2 & -1 -5 & y) são matrizes inversas.

Passo 1

O enunciado dá duas matrizes
A = 3 & x 5 & 2,
B = 2 & -1 -5 & y
e afirma que são inversas. Para matrizes inversas de ordem 2 vale
AB = I2,
onde I2 é a matriz identidade 2times2. Vamos usar essa condição para determinar x e y.

Passo 2

Multiplicamos A por B pelo método de combinação de linhas de A com colunas de B:
AB = 3cdot 2 + x cdot (-5) & 3cdot (-1) + x cdot y 5cdot 2 + 2 cdot (-5) & 5cdot (-1) + 2 cdot y = 6 - 5x & -3 + xy 10 - 10 & -5 + 2y = 6 - 5x & -3 + xy 0 & -5 + 2y

Passo 3

Igualamos AB à identidade I2=l(1&00&1r), gerando o sistema
6 - 5x = 1,
-3 + xy = 0,
-5 + 2y = 1

Passo 4

Resolvendo cada equação:
Da primeira,
6 - 5x = 1 Rightarrow 5x = 5 Rightarrow x = 1
Substituindo x=1 na segunda,
-3 + 1cdot y = 0 Rightarrow y = 3
Verificando na terceira,
-5 + 2y = -5 + 2cdot3 = 1,
que coincide com o valor exigido. Logo, a solução é consistente.

Resposta

x = 1 e y = 3.

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