Calcule a saída y(t) à aplicação da entrada x(t) no sistema com resposta ao impulso h(t), sendo
x(t)=e^t u(t) h(t)=e^-t u(t)+de<a(t-2)

Passo 1

O enunciado nos dá um sistema LTI com entrada x(t)=e^tu(t) e resposta ao impulso
h(t)=e^-tu(t)+de<a(t-2)
Precisamos calcular a saída
y(t) = (x * h)(t)
pela definição de convolução.

Passo 2

Como h(t) é soma de dois termos, podemos escrever
y(t) = x * l[e^-tu(t)r] ;+; x * l[de<a(t-2)r] = y1(t) + y2(t)

Passo 3

Para y1(t)=x * l[e^-tu(t)r] usamos
y1(t)=integral-infty^inftyx(tau),e^-(,t-tau,)u(t-tau),dtau
Como x(tau)=e^tauu(tau), o integrando só vale para 0<=tau<= t. Logo, para t>=0:
y1(t) =integral0^te^taue^-(t-tau),dtau =e^-tintegral0^te^2tau,dtau =e^-t,e^2t-12 =e^t-e^-t2
Para t<0 esse termo vale zero, então
y1(t)=e^t-e^-t2,u(t)

Passo 4

Para y2(t)=x * de<a(t-2) vale a propriedade do delta deslocado:
y2(t) =integral-infty^inftyx(tau),de<al(t-tau-2r),dtau =x(t-2) =e^,t-2u(t-2)

Passo 5

Somando os dois termos temos a saída total
y(t) =y1(t)+y2(t) =e^t-e^-t2,u(t) ;+;e^,t-2u(t-2)

Resposta

y(t) =e^t-e^-t2,u(t) +e^,t-2u(t-2)

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