Determine a saída do sistema linear e invariante no tempo cuja resposta ao impulso é
h(t)=2 e^-t u(t)
para as seguintes entradas:
x(t)=-3 e^-2 t u(t)

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos um sistema LTI contínuo causal com resposta ao impulso h(t)=2e^-tu(t) e entrada x(t)=-3e^-2tu(t). O conteúdo aqui é convolução em tempo contínuo para sistemas causais, usando o integral de convolução.

Passo 2

A saída y(t) é dada pela convolução
y(t)=integral-infty^inftyh(tau),x(t-tau),dtau
Como h(tau) e x(t-tau) são nulos para tau<0 ou tau>t, o integral reduz-se a
y(t)=integral0^t2e^-tau,l(-3e^-2(t-tau)r),dtau

Passo 3

No integrando temos
2e^-tau,l(-3e^-2(t-tau)r) =-6,e^-2t+tau,
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y(t)=-6integral0^te^-2t+tau,dtau

Passo 4

Fatorando e^-2t fora do integral e integrando e^tau, obtemos
y(t)=-6,e^-2tintegral0^te^tau,dtau =-6,e^-2tl(e^t-1r)

Passo 5

Simplificando, chega-se a
y(t)=-6l(e^-t-e^-2tr),
e incluindo a causalidade através de u(t), obtemos
y(t)=6l(e^-2t-e^-tr)u(t)

Resposta

y(t)=6l(e^-2t-e^-tr)u(t)

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