Utilize o processo de integração por substituição trigonométrica para resolver as integrais a seguir.
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral
usando substituição trigonométrica. Isso faz parte do estudo de integrais envolvendo funções trigonométricas e radicais. A gente vai precisar entender como substituir partes da integral para facilitar a resolução.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a parte da integral que se encaixa num padrão de substituição trigonométrica. Observamos que temos
, que se parece com
. Isso sugere que podemos usar senθ como substituição.
Passo 3
Vamos fazer a substituição
. Assim,
. Substituindo na integral:
Passo 4
Simplificando a expressão dentro da raiz:
Como estamos trabalhando com substituições trigonométricas padrão, podemos considerar
positivo.
Passo 5
Agora, substituindo de volta na integral:
Passo 6
Vamos simplificar
usando a identidade trigonométrica
:
Passo 7
Essa integral pode ser complicada, então vamos simplificar usando outra substituição ou técnicas de integração por partes. No entanto, para manter as coisas mais simples, vamos optar por uma abordagem diferente na substituição inicial.
Passo 8
Vamos tentar uma substituição diferente:
. Então,
, ou seja,
. Reescrevendo a integral:
Mas como
, temos
. Substituindo:
Passo 9
Agora, integramos termo a termo:
Simplificando:
Passo 10
Voltando para
:
Resposta
A integral
é igual a
, onde
é a constante de integração.