Calcule a saída y(t) à aplicação da entrada x(t) no sistema com resposta ao impulso h(t), sendo
x(t)=e^2 t u(t) h(t)=(e^-t-e^2 t) u(t)

Passo 1

O enunciado fornece a entrada
x(t)=e^2tu(t)
e a resposta ao impulso
h(t)=l(e^-t-e^2tr)u(t)
de um sistema LTI. Queremos calcular a saída
y(t)=x(t)*h(t)
usando a definição de convolução de sinais contínuos.

Passo 2

Pela definição de convolução temos
y(t)=integral-infty^inftyx(tau),h(t-tau),dtau
Como x(tau) e h(t-tau) são nulas para tau<0 ou tau>t, o limite de integração vai de 0 a t:
y(t)=integral0^tx(tau),h(t-tau),dtau

Passo 3

Substituindo x(tau)=e^2tau e
h(t-tau)=e^-(t-tau)-e^2(t-tau),
o integrando fica
e^2taul[e^-(t-tau)-e^2(t-tau)r] = e^3tau-t ;-; e^2t

Passo 4

Logo
y(t) =integral0^tl(e^3tau-t-e^2tr),dtau =e^-t!integral0^te^3tau,dtau -!integral0^te^2t,dtau

Passo 5

Calculamos
integral0^te^3tau,dtau =13l(e^3t-1r),
portanto o primeiro termo é
e^-tcdot13l(e^3t-1r) =13l(e^2t-e^-tr)

Passo 6

O segundo termo é
integral0^te^2t,dtau =e^2t,l[taur]0^t =t,e^2t

Passo 7

Juntando os resultados:
y(t) =13l(e^2t-e^-tr) -;t,e^2t =l(13e^2t-13e^-t-t,e^2tr)u(t)

Resposta

y(t)=l(13e^2t-13e^-t-t,e^2tr),u(t)

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