Em um dado sistema y(t)=Gx(t), foi aplicado um impulso unitário de<a(t) na entrada, e a saída h(t) obtida foi dada por
h(t)=2 e^-2 t u(t)+de<a(t-2)
Determine a saída y(t) deste sistema para a aplicação da entrada x(t)=(1-e^-2 t) u(t).

Passo 1

O enunciado descreve um sistema linear e invariante no tempo cuja resposta ao impulso é
h(t) = 2e^-2tu(t) + de<a(t-2)
Pede-se a saída
y(t)=Gx(t)
quando a entrada é
x(t) = (1 - e^-2t),u(t)
Para sistemas LTI sabemos que
y(t) = x(t) * h(t)
Vamos usar a propriedade de convolução e linearidade, dividindo h(t) em duas partes:
h1(t) = 2e^-2tu(t), h2(t)=de<a(t-2)

Passo 2

Convoluímos x(t) com h1(t). Por definição de convolução temos
y1(t) = (x*h1)(t) = integral-infty^inftyx(tau),h1(t-tau),dtau
Como h1(t-tau)=2e^-2(t-tau)u(t-tau), o limite efetivo da integral é tauin[0,t]. Então
y1(t) = integral0^t (1 - e^-2tau) ;2e^-2(t-tau),dtau
Fatorando 2e^-2t:
y1(t) =2e^-2tintegral0^tl(1 - e^-2taur)e^2tau,dtau =2e^-2tintegral0^tl(e^2tau - 1r),dtau
Agora calculamos a integral:
integral0^t(e^2tau-1),dtau =[12e^2tau-tau]0^t =12(e^2t-1)-t
Logo
y1(t) =2e^-2tl(12(e^2t-1)-tr) = (1 - e^-2t) - 2t,e^-2t
E devemos multiplicar por u(t) para respeitar causalidade:
y1(t) = l(1 - e^-2t - 2t,e^-2tr),u(t)

Passo 3

Agora convoluímos x(t) com h2(t)=de<a(t-2). Pela propriedade de deslocamento da delta:
y2(t) = (x*de<a(cdot-2))(t) = x(t-2)
Como x(t)=(1-e^-2t)u(t), temos
y2(t) = (1 - e^-2(t-2)),u(t-2)

Passo 4

Pela linearidade, a saída total é a soma:
y(t) = y1(t) + y2(t)
Substituindo,
y(t) = l(1 - e^-2t - 2t,e^-2tr),u(t) + l(1 - e^-2(t-2)r),u(t-2)

Resposta

boxedy(t) = l(1 - e^-2t - 2t,e^-2tr),u(t) + l(1 - e^-2(t-2)r),u(t-2)

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