Em um dado sistema
, foi aplicado um impulso unitário
na entrada, e a saída
obtida foi dada por
Determine a saída
deste sistema para a aplicação da entrada
.
Passo 1
O enunciado descreve um sistema linear e invariante no tempo cuja resposta ao impulso é
Pede-se a saída
quando a entrada é
Para sistemas LTI sabemos que
Vamos usar a propriedade de convolução e linearidade, dividindo
em duas partes:
Passo 2
Convoluímos
com
. Por definição de convolução temos
Como
, o limite efetivo da integral é
. Então
Fatorando
:
Agora calculamos a integral:
Logo
E devemos multiplicar por
para respeitar causalidade:
Passo 3
Agora convoluímos
com
. Pela propriedade de deslocamento da delta:
Como
, temos
Passo 4
Pela linearidade, a saída total é a soma:
Substituindo,