Calcule a saída y(t) à aplicação da entrada x(t) no sistema com resposta ao impulso h(t), sendo
x(t)=(e^t+e^-2 t) u(t) h(t)=e^-t u(t-1)

Passo 1

O enunciado pede para calcular a saída y(t) de um sistema LTI cuja entrada é
x(t)=l(e^t+e^-2tr)u(t)
e cuja resposta ao impulso é
h(t)=e^-tu(t-1)
O conteúdo necessário é a convolução temporal
y(t)=x(t)*h(t)=integral-infty^inftyx(tau),h(t-tau),dtau

Passo 2

Aplicando a definição de convolução,
y(t)=integral-infty^inftyl(e^tau+e^-2taur)u(tau),l[e^-(t-tau)ul(t-tau-1r)r],dtau
Como u(tau) exige tau>=0 e u(t-tau-1) exige tau<= t-1, o integral reduz-se a
y(t)=integral0^,t-1l(e^tau+e^-2taur)e^-(t-tau),dtau,
válido somente quando t-1>=0, ou seja, t>=1. Para t<1, não há região de integração e y(t)=0.

Passo 3

Dentro do integral, fatoramos e^-t:
y(t)=e^-tintegral0^,t-1l(e^taue^tau+e^-2taur),dtau = e^-tintegral0^,t-1l(e^2tau+e^-taur),dtau

Passo 4

Separamos em duas integrais:
integral0^,t-1e^2tau,dtau =12l[e^2taur]0^,t-1 =12l(e^2(t-1)-1r),
integral0^,t-1e^-tau,dtau =l[-e^-taur]0^,t-1 =1-e^-(t-1)
Somando e multiplicando por e^-t obtemos
y(t)=e^-tl[tfrac12l(e^2(t-1)-1r)+(1-e^-(t-1))r] =e^-tl(tfrac12e^2t-2+tfrac12-e^-(t-1)r)

Passo 5

Para simplificar, note que
e^-tcdottfrac12e^2t-2=tfrac12e^t-2, e^-tcdot e^-(t-1)=e^1-2t
Logo, para t>=1,
y(t)=tfrac12e^t-2+tfrac12e^-t-e^1-2t,
e para t<1, y(t)=0. Podemos incorporar isso com um passo unitário:

Resposta

y(t)=l[tfrac12e^t-2+tfrac12e^-t-e^1-2tr],u(t-1)

Exercícios relacionados