Considere o sistema linear e invariante no tempo cuja resposta ao impulso é dada por
h(t)=2 de<a(t-1)+u(t+2)
O sistema é causal? O sistema é BIBO-Estável?

Passo 1

O enunciado nos dá um sistema LTI cuja resposta ao impulso é
h(t)=2,de<a(t-1)+u(t+2)
Para verificar causalidade, usamos que um sistema LTI é causal se e somente se
h(t)=0para todo t<0
Para verificar BIBO-estabilidade, usamos que um sistema LTI é BIBO-estável se e somente se
integral-infty^inftyl|h(t)r|,dt<infty

Passo 2

Analisando a causalidade, note que
u(t+2)= 0,&t<-2, 1,&t>= -2
Logo, para -2<= t<0, temos u(t+2)=1, o que faz h(t)neq0 em instantes t<0. Isso viola a condição de h(t)=0 para t<0, logo o sistema não é causal.

Passo 3

Agora, para BIBO-estabilidade, calculamos
integral-infty^inftyl|h(t)r|,dt =integral-infty^inftyl|2,de<a(t-1)r|,dt +integral-infty^inftyl|u(t+2)r|,dt
A primeira parte vale
integral-infty^infty2,de<a(t-1),dt=2,
mas a segunda parte é
integral-infty^inftyu(t+2),dt =integral-2^infty1,dt =+infty
Como a soma diverge, temos
integral-infty^inftyl|h(t)r|,dt=+infty
e, portanto, o sistema não é BIBO-estável.

Resposta

O sistema não é causal e não é BIBO-estável.

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