Calcule a saída y(t) à aplicação da entrada x(t) no sistema com resposta ao impulso h(t), sendo
x(t)=(e^3 t-2 e^-2 t) u(t) h(t)=e^-2 t u(t)

Passo 1

O enunciado dá uma entrada
x(t)=l(e^3t-2e^-2tr)u(t)
e uma resposta ao impulso
h(t)=e^-2tu(t),
e pede a saída y(t) de um sistema LTI. O método é usar a convolução
y(t)=x(t)*h(t)=integral-infty^inftyx(tau),h(t-tau),dtau

Passo 2

Como x(tau) e h(t-tau) vêm multiplicadas por degrau unitário, a integral não nula ocorre para tau>=0 e t-tau>=0, ou seja, 0<=tau<= t. Logo para t>=0
y(t)=integral0^tl(e^3tau-2e^-2taur),e^-2,(t-tau),dtau,
e para t<0 vale y(t)=0.

Passo 3

Separe o fator e^-2t que independe de tau:
y(t)=e^-2tintegral0^tl(e^3tau-2e^-2taur)e^2tau,dtau =e^-2tintegral0^tl(e^5tau-2cdot1r),dtau

Passo 4

Calcule a integral termo a termo:
integral0^te^5tau,dtau =15l(e^5t-1r), integral0^t2,dtau =2t
Então
integral0^tl(e^5tau-2r),dtau =15l(e^5t-1r)-2t

Passo 5

Substituindo de volta em y(t):
y(t) =e^-2tl[tfrac15l(e^5t-1r)-2tr] =15e^3t-15e^-2t-2t,e^-2t,
válido para t>=0.

Resposta

y(t) =l(tfrac15e^3t-tfrac15e^-2t-2t,e^-2tr)u(t)

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