Considere o sistema linear e invariante no tempo cuja resposta ao impulso é dada por
h(t)=2 de<a(t-1)+u(t+2)
Determine a representação do sistema como uma relação entrada-saída, isto é, a expressão da saída y(t) em função de uma entrada x(t) qualquer, y(t)=Gx(t).

Passo 1

O enunciado nos dá um sistema LTI cuja resposta ao impulso é
h(t) = 2,de<a(t-1) + u(t+2)
Como é um sistema linear e invariante no tempo, a saída y(t) para uma entrada x(t) genérica é dada pela convolução
y(t) = (h * x)(t) = integral-infty^infty h(tau),x(t-tau),dtau
Precisaremos usar as propriedades de convolução com de<a e com o degrau u.

Passo 2

Convolvendo o termo 2,de<a(t-1) com x(t), usamos a propriedade
de<a(tau - a) * x(t) = x(t - a)
Então
integral-infty^infty 2,de<a(tau-1),x(t-tau),dtau = 2,xl(t-1r)

Passo 3

Agora convoluímos o termo u(t+2) com x(t). Por definição,
integral-infty^infty u(tau+2),x(t-tau),dtau
e sabemos que u(tau+2)=1 para tau >= -2 e 0 caso contrário. Logo o limite de integração vira tau=-2 a infty:
integral-infty^infty u(tau+2),x(t-tau),dtau = integral-2^infty x(t-tau),dtau

Passo 4

Fazemos a mudança de variável alpha = t-tau, portanto dalpha = -,dtau. Quando tau=-2 temos alpha = t+2, e quando tautoinfty temos alphato -infty. Assim
integral-2^infty x(t-tau),dtau = integralalpha = t+2^,-infty x(alpha),(-dalpha) = integral-infty^,t+2 x(alpha),dalpha

Passo 5

Somando as duas partes da convolução, obtemos a relação entrada-saída:
y(t) = 2,x(t-1) ;+;integral-infty^,t+2 x(tau),dtau

Resposta

boxedy(t) = 2,x(t-1) + integral-infty^,t+2 x(tau),dtau

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