Considere o sistema linear e invariante no tempo cuja resposta ao impulso é dada por
Determine a representação do sistema como uma relação entrada-saída, isto é, a expressão da saída
em função de uma entrada
qualquer,
.
Passo 1
O enunciado nos dá um sistema LTI cuja resposta ao impulso é
Como é um sistema linear e invariante no tempo, a saída
para uma entrada
genérica é dada pela convolução
Precisaremos usar as propriedades de convolução com
e com o degrau
.
Passo 2
Convolvendo o termo
com
, usamos a propriedade
Então
Passo 3
Agora convoluímos o termo
com
. Por definição,
e sabemos que
para
e
caso contrário. Logo o limite de integração vira
a
:
Passo 4
Fazemos a mudança de variável
, portanto
. Quando
temos
, e quando
temos
. Assim
Passo 5
Somando as duas partes da convolução, obtemos a relação entrada-saída: